[論文レビュー] $L^{p}$ Boundedness of Riesz transform related to Schrödinger operators on a manifold

Nadine Badr, Besma Ben Ali|ArXiv.org|Dec 6, 2008

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 2被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、倍加性およびPoincaré不等式を満たす完備なリーマン多様体上におけるシュレーディンガー作用素 $-\Delta + V$ に関連するリーマン変換の $L^p$ 有界性を、潜在力 $V$ が逆Hölderクラス $RH_q$ に属するという仮定の下で確立する。改良されたFefferman-Phongの不等式、Calderón-Zygmund分解、および複素補間を用いて、著者らは $p > 2$ における $L^p$ 界を拡張し、$\|\nabla u\|_p$ および $\|V^{1/2}u\|_p$ の $\|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_p$ に関する鋭い推定を示す。これらの結果は、多項式成長を示すリー群への応用を含む。

ABSTRACT

We establish various $L^{p}$ estimates for the Schrödinger operator $-Δ+V$ on Riemannian manifolds satisfying the doubling property and a Poincaré inequality, where $Δ$ is the Laplace-Beltrami operator and $V$ belongs to a reverse Hölder class. At the end of this paper we apply our result on Lie groups with polynomial growth.

研究の動機と目的

• 一般のリーマン多様体上で、シュレーディンガー作用素 $-\Delta + V$ のリーマン変換の $L^p$ 有界性を $p \leq 2$ を超えて拡張すること。
• 最小限の幾何的およびポテンシャル的仮定の下で、$\|\nabla u\|_p$ および $\|V^{1/2}u\|_p$ の $\|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_p$ に関する鋭い $L^p$ 推定を確立すること。
• ノルム的リー群に関する先行研究を、多項式成長を示すより広いクラスの多様体および $V \in RH_q$ に一般化すること。
• 重み付きソボレフ空間における $L^p$ 推定のための統一的枠組みを、最大不等式、Calderón-Zygmund理論、および複素補間を用いて提供すること。

提案手法

• $\Delta u$ および $Vu$ の $L^p$ ノルムにおける下位項を制御するため、改良されたFefferman-Phongの不等式を用いる。
• 関数を分解し、リーマン変換の弱型 $(1,1)$ 界を推定するために、Calderón-Zygmund分解を適用する。
• $L^2$ と弱型 $(1,1)$ 推定の間の複素補間を用いて、$1 < p < 2$ における $L^p$ 界を導出する。
• $V \in RH_q$ の下で、$1 < p < q + \epsilon$ に対して $\|\Delta u\|_p + \|Vu\|_p \lesssim \|(-\Delta + V)u\|_p$ の形の最大不等式を用いる。
• 多項式成長を示すリー群におけるソボレフおよびモリーエ埋め込み定理を用いて、推定を $p > 2$ に拡張する。
• 逆Hölderクラスの自己改善性および、このような群上で $\nabla(-\Delta)^{-1/2}$ が $1 < p < \infty$ に対して $L^p$ 有界であることに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体上で $p > 2$ の $L^p$ に対して、リーマン変換 $\nabla(-\Delta + V)^{-1/2}$ が有界となる幾何的およびポテンシャル的条件は何か？
• RQ2 $V \in RH_q$ の下で、$\|\nabla u\|_p \lesssim \|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_p$ が成り立つ最適な $p$ の範囲は何か？
• RQ3 多項式成長を示すリー群の無限遠における次元 $D$ は、$p > 2$ におけるリーマン変換の $L^p$ 有界性にどのように影響するか？
• RQ4 補間および分解技法を用いて、$p=2$ を超えて $\|\nabla u\|_p$ および $\|V^{1/2}u\|_p$ の $L^p$ 推定を拡張できるか？
• RQ5 逆Hölder条件 $V \in RH_q$ は、リーマン変換の $L^p$ 界の自己改善にどのように寄与するか？

主な発見

• 倍加性 $(D)$ およびPoincaré不等式 $(P_2)$ を満たす完備なリーマン多様体および $V \in RH_q$ の下で、$1 < p < q + \epsilon$ に対して不等式 $\|\Delta u\|_p + \|Vu\|_p \lesssim \|(-\Delta + V)u\|_p$ が成り立つ。ここで $\epsilon > 0$ は $V$ に依存する。
• リーマン変換 $\nabla(-\Delta + V)^{-1/2}$ は、$1 < p < \inf(p_0, 2(q + \epsilon))$ に対して $L^p$ で有界である。ここで $p_0$ は、$\nabla(-\Delta)^{-1/2}$ が $L^p$ 有界となる $p$ の上界である。
• $V \in RH_q$ かつ $q \geq D$ の下で、多項式成長を示すリー群および無限遠における次元 $D$ の下で、$\nabla(-\Delta + V)^{-1/2}$ の $L^p$ 有界性はすべての $1 < p < \infty$ に拡張される。
• 多項式成長を示すリー群において、$\frac{D}{2} < q < D$ のとき、$1 < p < q_D^* + \epsilon$ に対して $L^p$ 界が成り立つ。ここで $q_D^* = \frac{Dq}{D - q}$ である。
• $V \in RH_q$ の下で、同じ仮定の下で $\|V^{1/2}u\|_p \lesssim \|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_p$ は $1 < p < 2(q + \epsilon)$ に対して成り立つ。
• 著者らの結果は、Li [38] がノルム的リー群に対して行った先行研究を一般化し、$q \geq \frac{D}{2}$ の制限を除去するとともに、補間および分解技法を用いて鋭い範囲を確立した。