[論文レビュー] $L^{p}$-Caffarelli-Kohn-Nirenberg type inequalities on homogeneous groups

Tohru Ozawa, Michael Ruzhansky+1 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 28被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、任意の同次準ノルムを用いた非ユークリッド的設定へと古典的不等式を一般化した、同次群上での鋭い $L^p$-Caffarelli-Kohn-Nirenberg 型不等式を確立する。径数微分と同次性に基づく新規な変分的アプローチを用いて、すべての $1 < p < \infty$ に対して最適定数を導出する。$L^2$ 結果の拡張であり、任意の非等方的ノルムを用いたユークリッド空間における既知の鋭い不等式を回復する。

ABSTRACT

We prove $L^{p}$-Caffarelli-Kohn-Nirenberg type inequalities on homogeneous groups, which is one of most general subclasses of nilpotent Lie groups, all with sharp constants. We also discuss some of their consequences. Already in the abelian case of $\mathbb{R}^{n}$ our results provide new insights in view of the arbitrariness of the choice of the not necessarily Euclidean quasi-norm.

研究の動機と目的

• 同次群上で $1 < p < \infty$ のすべての $L^p$ 空間に対して、古典的な $L^2$-Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式を拡張すること。
• 同次準ノルムの選択に依存しない最適定数を確立すること。特に、非等方的 $\mathbb{R}^n$ 設定においても同様に適用可能であること。
• $L^2$ で用いられる径数微分のアプローチを、$L^p$ に一般化するための新しい変分法を用いることで、$L^2$ のみに存在する剰余項の公式に依存しない方法を提供すること。
• 任意の同次準ノルムを用いたユークリッド空間における既知の鋭いハーディー不等式および Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式を回復・一般化すること。

提案手法

• 同次群 $\mathbb{G}$ の同次次元 $Q$ に対して、径数微分 $\mathcal{R}$ を含む基本的な $L^p$ 不等式を導出する。その際、恒等式 $\frac{|Q - \gamma|}{p} \left\| \frac{f}{|x|^{\gamma/p}} \right\|_{L^p}^p \leq \left\| \frac{1}{|x|^\alpha} \mathcal{R}f \right\|_{L^p} \left\| \frac{f}{|x|^{\beta/(p-1)}} \right\|_{L^p}^{p-1}$ を用い、$\gamma = \alpha + \beta + 1$ とする。
• ホルダーの不等式と群構造の同次性の性質を適用し、径数微分作用素 $\mathcal{R}$ を用いて $L^p$ ノルムを評価する。$\mathcal{R}$ は群の拡大構造により定義される。
• 極値関数を構成し、等号成立条件を検証することで、$\gamma \neq Q$ のとき定数 $\frac{|Q - \gamma|}{p}$ が最適であることを示す。
• 高階微分へと拡張するため、$\mathcal{R}^{m+1}f$ と $\mathcal{R}^k f$ を含む不等式を導出し、$|Q - p(\alpha - j)|$ の積を含む明示的な最適定数を導出する。
• $L^2$ の結果を基準とし、[RS16c]で知られている正確な剰余項の公式を活用して、$L^p$ 結果の最適性と整合性を検証する。
• 結果を $\mathbb{R}^n$ に適用し、任意の同次準ノルムを用いた古典的不等式を回復・一般化する。これには、$L^p$ ハーディー不等式および $L^p$ Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同次群上での $L^2$-Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式は、$1 < p < \infty$ のすべての $L^p$ 空間へと最適定数を伴って拡張可能か？
• RQ2 同次群上での $L^p$-Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式における最適定数の形は何か？また、同次次元 $Q$ およびパrameter $\alpha$, $\beta$, $p$ に依存する仕組みは？
• RQ3 剰余項の公式が存在しない状況において、径数微分作用素 $\mathcal{R}$ は、同次群上での $L^p$ 不等式に対して実用的かつ鋭い枠組みを提供できるか？
• RQ4 $L^p$ 不等式は、非等方的および非ユークリッド的準ノルムを用いたユークリッド空間における既知の鋭い不等式を回復・一般化できるか？
• RQ5 高階微分 $\mathcal{R}^k f$ は、得られる不等式の鋭さおよび構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 本論文は、任意の同次次元 $Q$ を持つ同次群 $\mathbb{G}$ 上で、定数 $\frac{|Q - \gamma|}{p}$ を伴う鋭い $L^p$-Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式を確立する。ここで $\gamma = \alpha + \beta + 1$ であり、$\gamma \neq Q$ のときこの定数は最適である。
• $p=2$ の場合、不等式は $\frac{|Q - \gamma|}{2} \left\| \frac{f}{|x|^{\gamma/2}} \right\|_{L^2}^2 \leq \left\| \frac{1}{|x|^\alpha} \mathcal{R}f \right\|_{L^2} \left\| \frac{f}{|x|^\beta} \right\|_{L^2}$ に簡略化され、[RS16c]で得られた鋭い $L^2$ 結果と一致し、定数の最適性が裏付けられる。
• 本手法により、任意の同次準ノルムを用いた $\mathbb{R}^n$ 上で新たな鋭い不等式が得られ、古典的な $L^p$ ハーディー不等式および Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式を、標準的なユークリッドノルムを超えて一般化する。
• 高階微分に関しては、$\frac{|Q - \gamma|}{p} \left\| \frac{f}{|x|^{\gamma/p}} \right\|_{L^p}^p \leq \widetilde{A}_{\alpha,m} \widetilde{A}_{\beta,k} \left\| \frac{1}{|x|^{\alpha - m}} \mathcal{R}^{m+1}f \right\|_{L^p} \left\| \frac{1}{|x|^{\beta/(p-1) - k}} \mathcal{R}^k f \right\|_{L^p}^{p-1}$ の形の鋭い不等式が導出され、$|Q - p(\alpha - j)|$ の積を含む明示的な最適定数が得られる。
• 最適性は、$L^2$ の既知の正確な剰余項の公式との整合性から確認され、定数が改善不能であることが示される。
• 本結果は、等方的および非等方的設定、特にノルム群や非等方的 $\mathbb{R}^n$ 上でのハーディーおよび Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式の既存結果を一般化・統合する。