[論文レビュー] l^p-cohomology for groups of type FP_n

Elias Kappos|ArXiv.org|Oct 31, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ を満たす $FP_n$ 型の群に対して、縮小 $l^p$-ホモロジーと $l^q$-コホモロジーの双対性を確立し、中心に無限位数の元をもつ、無限個の有限共役類をもつ、ノルム的である、あるいは多項式成長を示すなどの条件下で、そのような群における縮小 $l^p$-ホモロジーおよびコホモロジーの消失を証明する。主な貢献は、群の中心と共役類に構造的制約を課した $FP_n$ 群の文脈において、$l^p$-コホモロジーの一般化された消失結果の確立にある。

ABSTRACT

Let G be a group of type FP_n and let p>1. In this paper we show that the reduced l^p-homology of G is dual to the reduced l^q-cohomology for \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1. In our main theorem we show that for a group of type FP_n with a central element of infinite order the reduced l^p-cohomology vanishes. We generalize this fact for groups with infinitely many elements in the center of the group, for groups which are FCC, for groups with infinitely many finite conjugacy classes, for nilpotent groups, and for groups of polynomial growth.

研究の動機と目的

• タイプ $FP_n$ の群に対して $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ を満たすとき、縮小 $l^p$-ホモロジーと $l^q$-コホモロジーの双対性を確立すること。
• 中心に無限位数の元をもつなどの構造的条件下で、$FP_n$ 群における縮小 $l^p$-ホモロジーおよびコホモロジーの消失を証明すること。
• 無限個の有限共役類をもつ群、ノルム的群、多項式成長を示す群へと、消失結果を一般化すること。
• $l^2$-ケースを超えて、関数解析的および群コホモロジー的技法を用いて、$p > 1$ の $l^p$-コホモロジーに対し双対性および消失定理を拡張すること。

提案手法

• $\mathbb{Z}[G]$ 上の $\mathbb{Z}$ の射影的分解を用い、$l^p(G)$ とのテンソルおよびホム構成を介して $l^p$-ホモロジーおよびコホモロジーを定義する。
• ノルム位相における像の閉包をとることで、縮小 $l^p$-(コ)ホモロジーを定義し、完備性と双対性を保証する。
• シャピロの補題および誘導／余誘導ファンクターを用いて、部分群上のコホモロジーと全体群との関係を結ぶ。
• 群環における一般化された軌道とカットオフ論法を用いて、和の収束を制御し、$l^p$-ノルムでの収束を保証する。
• $l^p$ と $l^q$ 空間の双対性をハーン＝バナッハの定理および随伴写像を用いて確立し、双対同型を導出する。
• 中心元のケースの証明戦略を、中心系列と共役類の有限性を用いたノルム的および多項式成長群のより一般的な設定へと適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タイプ $FP_n$ の群に対して $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ のとき、縮小 $l^p$-ホモロジーは $l^q$-コホモロジーと双対的か？
• RQ2 タイプ $FP_n$ の群がどのような構造的条件下にあれば、$p > 1$ のとき縮小 $l^p$-コホモロジーが消失するか？
• RQ3 無限位数の中心元をもつ群における消失結果は、無限個の有限共役類をもつ群、あるいはノルム的構造をもつ群へと拡張可能か？
• RQ4 無限部分と有限部分をもつ中心系列が、ノルム的群の $l^p$-コホモロジーにどのように影響するか？
• RQ5 多項式成長および有限指数のノルム的部分群をもつことは、$FP_n$ 群における縮小 $l^p$-コホモロジーの消失をどの程度まで示唆するか？

主な発見

• タイプ $FP_n$ の群に対して $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ のとき、$l^p$-$l^q$ 双対性によって誘導される自然な同型を通じて、縮小 $l^p$-ホモロジーと $l^q$-コホモロジーは双対的である。
• 中心に無限位数の元をもつタイプ $FP_n$ の群に対して、すべての $i \leq n$ に対して縮小 $l^p$-コホモロジーは消失する。
• 一般化された軌道とカットオフ論法を用いた群環における議論により、無限個の有限共役類をもつ群に対しても消失結果が拡張可能である。
• 無限に生成され、タイプ $FP_\infty$ であるノルム的群は、すべての $i \in \mathbb{N}$ において、縮小 $l^p$-コホモロジーが自明である。
• 有限指数のノルム的部分群をもつ多項式成長群に対しても、すべての $i \in \mathbb{N}$ で縮小 $l^p$-コホモロジーは自明である。
• 証明技法は、群環における中心的要素の軌道上の制御された和を構成し、ノルムの閉包を用いて $l^p$-空間内での収束を保証することに依存する。