[論文レビュー] $L_p$-discrepancy and beyond of higher order digital sequences

Josef Dick, Aicke Hinrichs+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2016

Mathematical Approximation and Integration参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、二進体上の順序2デジタル$(t,d)$-系列について、すべての$p \in (1,\infty)$に対して$L_p$-不均一性が最適であることを確立し、その系列がすべての$p \in (1,\infty)$に対して達成可能な最小のオーダーを達成することを証明している。さらに、その不均一性ノルムが有界変動平均（BMO）、指数型オルリッチ、ベソフ、トライベル＝リゾルキン空間においても最適であることを示している。

ABSTRACT

The $L_p$-discrepancy is a quantitative measure for the irregularity of distribution modulo one of infinite sequences. In 1986 Proinov proved for all $p>1$ a lower bound for the $L_p$-discrepancy of general infinite sequences in the $d$-dimensional unit cube, but it remained an open question whether this lower bound is best possible in the order of magnitude until recently. In 2014 Dick and Pillichshammer gave a first construction of an infinite sequence whose order of $L_2$-discrepancy matches the lower bound of Proinov. Here we give a complete solution to this problem for all finite $p > 1$. We consider so-called order $2$ digital $(t,d)$-sequences over the finite field with two elements and show that such sequences achieve the optimal order of $L_p$-discrepancy simultaneously for all $p \in (1,\infty)$. Beyond this result, we estimate the norm of the discrepancy function of those sequences also in the space of bounded mean oscillation, exponential Orlicz spaces, Besov and Triebel-Lizorkin spaces and give some corresponding lower bounds which show that the obtained upper bounds are optimal in the order of magnitude.

研究の動機と目的

• 一般の系列に対してProinovの$L_p$-不均一性下界がすべての$p > 1$に対してオーダーの意味でタイトであるかどうかを解明すること。
• すべての$p \in (1,\infty)$に対して最適な$L_p$-不均一性オーダーを同時に達成する一様な系列の構成を達成し、長年の未解決問題を解決すること。
• $L_p$空間を超えて、有界変動平均（BMO）、指数型オルリッチ、ベソフ、トライベル＝リゾルキン空間を含む関数空間への不均一性ノルムの分析を拡張すること。
• これらの関数空間において下界を一致させるものとして導出し、得られた上界の最適性を確認すること。

提案手法

• 高次元一様分布における低不均一性を保証するため、有限体$\mathbb{F}_2$上に順序2デジタル$(t,d)$-系列を構成する。
• 調和解析および関数空間理論の高度な道具を用いて、$L_p$、BMO、オルリッチ、ベソフ、トライベル＝リゾルキン空間における不均一性関数のノルムを推定する。
• デジタルネットおよび系列の理論を応用し、系列パラメータおよび次元の関数として不均一性の明示的バウンドを導出する。
• 系列の構造と関連関数空間の性質を活用して、不均一性ノルムの鋭い上界を確立する。
• 各関数空間における一致する下界を導出し、上界がオーダーの意味で最適であることを確認する。
• 双対性および補間技法を用いて、異なる関数空間間での不均一性の振る舞いを関連づけ、最適性の一貫性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の系列に対してProinovの$L_p$-不均一性下界がすべての$p > 1$に対してオーダーの意味でタイトか？
• RQ2 一様な系列構成によって、すべての$p \in (1,\infty)$に対して同時に最適な$L_p$-不均一性オーダーを達成できるか？
• RQ3 このような系列の不均一性ノルムは、$L_p$空間を超えて、BMO や指数型オルリッチ空間など、他の関数空間においても最適か？
• RQ4 ベソフおよびトライベル＝リゾルキン空間における不均一性ノルムの上界が、既知の下界とオーダーの意味で一致するか？
• RQ5 複数の関数空間スケールにわたって、不均一性の振る舞いの最適性を一様に確立できるか？

主な発見

• 二進体$\mathbb{F}_2$上に構築された順序2デジタル$(t,d)$-系列は、すべての$p \in (1,\infty)$に対して最適な$L_p$-不均一性オーダーを達成し、長年の未解決問題を解決した。
• これらの系列の不均一性関数のノルムは、有界変動平均（BMO）空間においてもオーダーの意味で最適である。
• 指数型オルリッチ空間における不均一性ノルムの上界が鋭く、既知の下界と一致することが示された。
• ベソフおよびトライベル＝リゾルキン空間における不均一性ノルムの上界は、一致する下界によって確認され、オーダーの意味で最適であることがわかった。
• この構成により、すべての$L_p$空間および複数の関数空間スケールにおいて同時に最適な不均一性の振る舞いが達成され、その強靭さと普遍性が示された。