[論文レビュー] $L^p$ estimates for fully coupled FBSDEs with jumps

Juan Li, Qingmeng Wei|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2013

Stochastic processes and financial applications被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、単調性条件および小さなリプシッツ条件の下で、ジャンプを伴う完全に結合された前向き・後向き確率微分方程式（FBSDEs）について、$L^p$-推定を確立し、適切な時間区間における適切な解の存在と一意性を証明するとともに、重要な$L^p$バインディングを導出する。これらの結果は、ブラウン運動駆動のFBSDEsに関する先行研究を拡張し、ジャンプを伴う確率的制御および微分ゲームにおいて不可欠である。

ABSTRACT

In this paper we study useful estimates, in particular $L^p$-estimates, for fully coupled forward-backward stochastic differential equations (FBSDEs) with jumps. These estimates are proved at one hand for fully coupled FBSDEs with jumps under the monotonicity assumption for arbitrary time intervals and on the other hand for such equations on small time intervals. Moreover, the well-posedness of this kind of equation is studied and regularity results are obtained.

研究の動機と目的

• 任意の時間区間における単調性条件の下で、ジャンプを伴う完全に結合されたFBSDEsについて$L^p$-推定を導出すること。
• 拡散係数およびジャンプ係数の小さなリプシッツ条件の下で、小さな時間区間における解の適切な解（存在および一意性）を確立すること。
• ジャンプを伴う完全に結合されたFBSDEsについての比較定理を一般化し、確率的微分ゲームおよびイサース型の偏微分方程式に不可欠な推定を提供すること。
• ブラウン運動駆動のFBSDEsにおける既存の$L^p$-推定をジャンプ拡散ケースに拡張すること、特にジャンプマルティンググール成分に注目すること。

提案手法

• 特に推定式 (3.11) および (3.15) を用いて、ジャンプマルティンググール部分に注目した、$L^p$-推定の証明における新規な手法の使用。
• 単調性条件の適用により、ジャンプを伴う完全に結合されたFBSDEsについて$L^2$および$L^p$推定を導出すること。
• リプシッツ定数$L_\sigma$および$L_h$が十分に小さくなるように、時間区間を小さく設定する枠組みの導入により、適切な解の存在を保証すること。
• 終値条件をゼロに変換する変換の使用により、変換された系に定理3.4を適用可能にする。
• 事前推定および収縮法を用いて、小さな区間における一般化された比較定理および$L^p$-推定を導出すること。
• 特にジャンプ積分および補正付きポアソン測度を扱う際の条件付き期待値および伊藤の公式の使用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単調性条件の下で、ジャンプを伴う完全に結合されたFBSDEsについて、どのように$L^p$-推定を確立できるか？
• RQ2 このようなFBSDEsの解の存在および一意性が、小さな時間区間で保証されるための条件は何か？
• RQ3 ジャンプ成分は、拡散成分のみのケースと比較して、$L^p$-推定にどのように影響を与えるか？
• RQ4 小さなリプシッツ条件の下で、ジャンプを伴う完全に結合されたFBSDEsについて、比較定理を一般化できるか？
• RQ5 $L^p$-バインディングを導出するにあたり、ジャンプマルティンググール部分が果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、単調性条件の下で、ジャンプを伴う完全に結合されたFBSDEsについて$L^p$-推定を証明し、特にジャンプマルティンググール部分に関する重要な推定式 (3.11) および (3.15) を得た。
• 十分に小さな時間区間$\delta$に対して、リプシッツ定数$L_\sigma$および$L_h$が$C_p L_\sigma^p < 1$を満たす限り、FBSDEの適切な解が保証される。
• 小さな区間における$L^p$-推定は、$E[(\int_t^{t+\delta}|Z_r^{t,\zeta}|^2 dr)^{p/2} | \mathcal{F}_t] + E[(\int_t^{t+\delta} \int_E |\widetilde{K}_r^{t,\zeta}(e)|^2 \mu(drde))^{p/2} | \mathcal{F}_t] \leq C_p \delta^{p/2}(1 + |\zeta|^p)$として導出された。
• 小さなリプシッツ条件の下で、一般化された比較定理（定理3.3）が確立され、異なる係数を持つ解の比較が可能になった。
• 終値条件$\Phi$が確率的であっても結果は有効であり、初期状態$\zeta \in L^2(\Omega, \mathcal{F}_t, P; \mathbb{R}^n)$に対して一様に成り立つ。
• 重要な推定式$E[(\int_t^{t+\delta} \int_E |K_r^{t,\zeta}(e)|^2 \lambda(de)dr)^{p/2} | \mathcal{F}_t] \leq C_p \delta^{p/2}(1 + |\zeta|^p)$が導出され、ジャンプ成分の安定性が確認された。