[論文レビュー] L^p estimates for quantities advected by a compressible flow

Antoine Mellet, Alexis Vasseur|ArXiv.org|Aug 16, 2006

Navier-Stokes equation solutions参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、密度が消える（すなわち真空中に近い状況でも）可compressible 流体による運搬される量について、De Giorgi 型反復法を用いて一様な $L^p$ 評価を確立する。スカラー量の $L^\infty$ 界と、ベクトル場（例えば可compressible ナビエ＝ストークス方程式における速度）の $L^p$ 界を、密度に依存しない形で得る。粘性と初期データの正則性に関する最小限の仮定の下で成立する。

ABSTRACT

We consider the evolution of a quantity advected by a compressible flow and subject to diffusion. When this quantity is scalar it can be, for instance, the temperature of the flow or the concentration of some pollutants. Because of the diffusion term, one expects the equations to have a regularizing effect. However, in their Euler form, the equations describe the evolution of the quantity multiplied by the density of the flow. The parabolic structure is thus degenerate near vacuum (when the density vanishes). In this paper we show that we can nevertheless derive uniform $L^{p}$ bounds that do not depend on the density (in particular the bounds do not degenerate near vacuum). Furthermore the result holds even when the density is only a measure. We investigate both the scalar and the system case. In the former case, we obtain $L^{\infty}$ bounds. In the latter case the quantity being investigated could be the velocity field in compressible Navier-Stokes type of equations, and we derive uniform $L^p$ bounds for some $p$ depending on the ratio between the two viscosity coefficients (the main additional difficulty in that case being to deal with the second viscosity term involving the divergence of the velocity). Such estimates are, to our knowledge, new and interesting since they are uniform with respect to the density. The proof relies mostly on a method introduced by De Giorgi to obtain regularity results for elliptic equations with discontinuous diffusion coefficients.

研究の動機と目的

• 可compressible 流体に運搬されるスカラー量について、密度 $\rho$ が消える場合でも一様な $L^\infty$ 界を導出すること。
• 特に可compressible ナビエ＝ストークス方程式における速度場を想定し、この評価をベクトルの場合に拡張すること。第二粘性係数項を考慮する。
• 密度がゼロに近づくと放物型構造が退化する問題を克服し、真空中でも評価が崩壊しないようにすること。
• 密度が有界または滑らかでなくてもよい正の測度である場合でも有効な枠組みを構築すること。
• 密度に依存しない一様な評価を提供することで、低正則性設定における正則性結果の確立を可能とすること。

提案手法

• 凸関数 $\phi$ で $\lim_{y\to\infty} \phi(y)/y^2 \leq 1$ を満たす関数族を用いた弱形式を採用し、エネルギー型不等式を導出する。
• 解の $L^\infty$ ノルムを制御するため、勾配の $L^2$ ノルムの減衰推移に依存する De Giorgi 型反復スキームを適用する。
• 局所化と成長制御のため、切り詰めた関数 $v_k = \min(|u|, C_k)$ と関連するカットオフ勾配 $d_k$ を導入する。
• 時間区間 $[T_k, T]$ を $T_k = t_0(1 - 2^{-k})$ と定義し、反復的に可積分性を向上させ、$L^\infty$ での有界性を証明する。
• チェビシェフの不等式と $U_k = \int |\nabla(|u| - K)_+|^2 \, dx\,dt$ の減衰推移を用いて、$U_k \to 0$ を示し、有界性を示す。
• 系の場合には、速度場 $u$ をベクトル値解とみなし、第二粘性係数 $\lambda$ を含む発散項を考慮した反復スキームに適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可compressible 流体に運搬されるスカラー量 $\theta$ について、密度 $\rho$ が消える場合でも一様な $L^\infty$ 界が得られるか？
• RQ2 密度が退化的または測度である場合、可compressible ナビエ＝ストークス方程式における速度場の $L^p$ 評価をどのように導出できるか？
• RQ3 第二粘性係数項 $\mathrm{div}\,u$ を含む系に対して、De Giorgi 反復法を非一様粘性を持つ系に適応可能か？
• RQ4 $F$, $G$, 粘性 $\mu$ にどのような条件を課せば、$L^p$ 評価が $\rho$ に依存せず一様に保たれるか？
• RQ5 初期データ $\theta_0$ が $L^2(\rho_0)$ にのみ属し、$\rho \in L^r$（$r > 3/2$）である場合でも、$L^\infty$ 界が得られるか？

主な発見

• スカラー量 $\theta$ について、$\theta_0 \in L^\infty$ ならば、$\theta \in L^\infty([0,T] \times \mathbb{R}^3)$ であり、$\rho$ に一様に依存しない。
• $\theta_0$ が $L^2(\rho_0)$ に有界で、$\rho \in L^\infty(0,T; L^r)$（$r > 3/2$）であるならば、任意の $t_0 > 0$ に対して $\theta \in L^\infty(t_0, T; L^\infty(\mathbb{R}^3))$ が成り立つ。
• ベクトルの場合（例えば可compressible ナビエ＝ストークス方程式における速度）では、$F$, $G$, $\mu$ が適切に可積分的であれば、解 $u$ は $L^{2+p,*}_{\mathrm{loc}}$（$p > 0$）に属し、局所的有界性を示す。
• 評価は密度 $\rho$ に依存せず一様であり、$\rho$ が正の測度である場合でも成立する。
• De Giorgi 反復と勾配のカットオフ技術を巧みに用いることで、真空中でも退化しない $L^\infty$ 界が得られる。
• 第二粘性係数 $\lambda$ は可変かつ可測でよいが、$\lambda \geq 0$ かつエネルギー不等式で系の構造が保たれていればよい。