[論文レビュー] L p -estimates for the heat semigroup on differential forms, and related problems

Jocelyn Magniez, El Maati Ouhabaz|arXiv (Cornell University)|May 19, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 26被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、体積倍加とガウス型熱核評価を満たす完備非コンパクトリーマン多様体上の微分 $k$-形式の熱半群の $L^p$-評価を確立する。負の曲率作用素の部分が拡大されたカト型クラスに属するという仮定の下で、$t$ が大きい場合に、半群の $L^p$ 演算子ノルムが $(t\log t)^{D(1-2/p)/4}$ のオーダーで増大することを証明する。より強い準臨界性の下では、改善された評価が得られる。これらの結果は勾配評価やリーマン変換の有界性との関係を示す。

ABSTRACT

We consider a complete non-compact Riemannian manifold satisfying the volume doubling property and a Gaussian upper bound for its heat kernel (on functions). Let -- $\ ightarrow$ $\\Delta$ k be the Hodge-de Rham Laplacian on differential k-forms with k $\\ge$ 1. By the Bochner decomposition formula -- $\ ightarrow$ $\\Delta$ k = * + R k. Under the assumption that the negative part R -- k is in an enlarged Kato class, we prove that for all p $\\in$ [1, $\\infty$], e --t -- $\ ightarrow$ $\\Delta$ k p--p $\\le$ C(t log t) D 4 (1-- 2 p) (for large t). This estimate can be improved if R -- k is strongly sub-critical. In general, (e --t -- $\ ightarrow$ $\\Delta$ k) t>0 is not uniformly bounded on L p for any p = 2. We also prove the gradient estimate e --t$\\Delta$ p--p $\\le$ Ct -- 1 p , where $\\Delta$ is the Laplace-Beltrami operator (acting on functions). Finally we discuss heat kernel bounds on forms and the Riesz transform on L p for p > 2.

研究の動機と目的

• 非コンパクトリーマン多様体上の微分 $k$-形式における熱半群 $e^{-t\overrightarrow{\Delta}_k}$ の $L^p$-境界を確立すること。
• 時間パラメータ $t$ と指数 $p$ に依存する $L^p$ 演算子ノルムの依存関係、特に $p \neq 2$ の場合の解析。
• リッチ曲率の負の部分が、半群の $L^p$ 挙動に与える影響を明確化すること。
• 微分形式上の熱半群の $L^p$-有界性が、$p > 2$ の $L^p(M)$ 上でのリーマン変換の有界性とどのように関連するかを明らかにすること。
• 関数上のラプラシアン＝ベルトラミ半群に対する勾配評価を導出すること。

提案手法

• ホッジ＝ド・ラームラプラシアンを $\overrightarrow{\Delta}_k = \nabla^*\nabla + R_k$ と分解するためのボッハナーの公式の使用。$R_k$ をポテンシャルとして扱う。
• 拡大されたカト型クラス $\hat{K}$ を用いた支配原理の適用により、負の曲率部分 $R_k^-$ を制御する。
• 半群の支配と体積倍加を用いて、形式上のガウス型熱核評価を確立する。
• デイヴィス＝ガフニー評価と補間技法を用いて、$L^2$-評価と $L^{\tilde{p}_0}$-有界性から $L^p$-評価を導出する。
• 非対角評価とハーディー空間理論を用いて、半群の挙動とリーマン変換の有界性を結びつける。
• 半群の性質とスケーリングの議論を用いて、$t$ と $\log t$ の関数としての時間依存の増大評価を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体積倍加とガウス型熱核評価の下で、$p \neq 2$ の場合に、熱半群 $e^{-t\overrightarrow{\Delta}_k}$ が $L^p(\Lambda^k T^*M)$ 上で一様有界となる幾何的・解析的条件は何か？
• RQ2 曲率作用素 $R_k^-$ の負の部分が、$k$-形式上の熱半群の $L^p$-演算子ノルムにどのように影響を与えるか？
• RQ3 曲率とカト型クラスの仮定の下で、$t$ が大きい場合の $\|e^{-t\overrightarrow{\Delta}_k}\|_{p-p}$ の正確な時間依存の増大率は何か？
• RQ4 微分形式上の熱半群の $L^p$-有界性は、$p > 2$ の $L^p(M)$ 上でのリーマン変換の有界性とどの程度関連しているか？
• RQ5 同じ仮定のもとで、$\|\nabla e^{-t\Delta}\|_{p-p}$ の勾配評価を導出できるか？

主な発見

• $p \in [1,\infty]$ に対して、体積倍加とガウス型熱核評価の仮定の下で、$t$ が大きい場合に $\|e^{-t\overrightarrow{\Delta}_k}\|_{p-p} \leq C(t\log t)^{D(1-2/p)/4}$ が成り立つ。
• $R_k^-$ が強く準臨界的である場合、一般の $L^p$-有界性よりも改善された増大評価が得られる。
• 一般に、体積倍加と熱核評価の下でも、$p \neq 2$ の場合、半群 $e^{-t\overrightarrow{\Delta}_k}$ は $L^p$ 上で一様有界ではない。
• 同じ幾何的仮定のもとで、すべての $p \in [1,\infty]$ に対して $\|\nabla e^{-t\Delta}\|_{p-p} \leq C t^{-1/p}$ という勾配評価が成り立つ。
• リーマン変換 $d\Delta^{-1/2}$ が $L^p(M)$ 上で有界であることは、$p \in (1,\infty)$ において、1-形式上の熱半群が $L^p(\Lambda^1 T^*M)$ 上で一様有界であることと同値である。
• 非対角評価により、$e^{-t\overrightarrow{\Delta}}$ の性質が、$r \in (\min(p,p'),2]$ に対して、ハーディー空間 $H^r_{\overrightarrow{\Delta}}$ と $L^r$ が同値であることを示し、半群の挙動と関数空間理論を結びつける。