[論文レビュー] $L^p$-Fourier and Fourier-Stieltjes algebras for locally compact groups

Matthew Wiersma|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、局所コンpakト群 $G$ に対して、ユニタリ表現の $L^p$-行列式係数を用いて一般化された古典的フーリエ代数を導入し、研究する。主な貢献は、$SL(2,\mathbb{R})$ のフーリエ＝スタイリッツ理想を、$p \in [2,\infty)$ に対して正確に $B_{L^p}(G)$ として特徴づけることである。これにより、各 $p$ に対してこれらの代数が互いに異なることが示され、群の完全不変量を形成することが明らかになった。

ABSTRACT

Let $G$ be a locally compact group and $1\leq p

研究の動機と目的

• 局所コンパクト群に対して $L^p$-フーリエおよびフーリエ＝スタイリッツ代数を導入することにより、フーリエ代数の理論を拡張すること。
• $A_{L^p}(G)$ および $B_{L^p}(G)$ の構造的性質が、元の群 $G$ にどのように反映されるかを調査すること。
• $L^p$-表現を用いて $SL(2,\mathbb{R})$ のフーリエ＝スタイリッツ理想を特徴づけること。
• $SL(2,\mathbb{R})$ において、各 $p \in [2,\infty)$ に対して $B_{L^p}(G)$ が互いに異なることを示すこと。

提案手法

• ヒルベルト空間のベクトルの稠密な集合に対して行列式係数が $G$ 上で $L^p$ に属するユニタリ表現として $L^p$-表現を定義する。
• $L^p$-表現の行列式係数の空間として $A_{L^p}(G)$ を構成し、$B(G)$ 内での弱*閉包として $B_{L^p}(G)$ を定義する。
• ユニタリ表現のフェルト位相および弱包含の性質を用いて $B_{L^p}(G)$ の構造を分析する。
• コーウリング＝ハウガーク＝ハウ theorem を適用し、模倣離散系列および主系列が $L^{2+\epsilon}$-表現であることを示す。
• プカーンスキーの補完系列表現に関するテンソル積定理を活用し、弱包含と $p$-依存性の関係を明らかにする。
• フェルの吸収原理および誘導表現の構造を用いて、$B(G)$ 内の理想を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの局所コンパクト群が、$[2,\infty)$ 内の異なる $p$ に対して相異なる $L^p$-フーリエ＝スタイリッツ代数を持つのか？
• RQ2 $SL(2,\mathbb{R})$ のフーリエ＝スタイリッツ理想は、$L^p$-表現を用いて完全に特徴づけられるか？
• RQ3 どの $p$ に対して、補完系列表現 $\pi_r$ が $SL(2,\mathbb{R})$ の $L^p$-表現に弱く含まれるか？
• RQ4 $B_{L^p}(G)$ および $C^*_{L^p}(G)$ は $SL(2,\mathbb{R})$ に対して完全不変量か？
• RQ5 非アーベル的または非コンパクト群は、古典的フーリエ代数に比べて $L^p$-フーリエ＝スタイリッツ代数においてより豊かな構造を示すか？

主な発見

• $SL(2,\mathbb{R})$ の $L^p$-フーリエ＝スタイリッツ代数 $B_{L^p}(SL(2,\mathbb{R}))$ は、すべての $p \in [2,\infty)$ に対して互いに異なる。
• $SL(2,\mathbb{R})$ の $L^p$-フーリエ代数 $A_{L^p}(G)$ は完全不変量である。すなわち、$A_{L^p}(G) = A_{L^q}(G)$ となるのは $p = q$ の場合に限る。
• 補完系列表現 $\pi_r$ が $L^p$-表現に弱く含まれるための必要十分条件は、$r \in [2/p - 1, 0)$ であること。
• $SL(2,\mathbb{R})$ の非自明なすべてのフーリエ＝スタイリッツ理想は、$B(G)$ 全体またはある $p \in [2,\infty)$ に対して $B_{L^p}(G)$ に限る。
• $SL(2,\mathbb{R})$ の $C^*$-代数 $C^*_{L^p}(SL(2,\mathbb{R}))$ は、$p \in [2,\infty)$ の各値に対して互いに異なる。これは、オーキャサの結果を $SL(2,\mathbb{R})$ に拡張したものである。
• 無限自由群 $\mathbb{F}_\infty$ は、$B_{L^p}(\mathbb{F}_\infty)$ の形をしたフーリエ＝スタイリッツ理想でない連続体個の理想を有する。これにより、特徴づけが $SL(2,\mathbb{R})$ に特有のものであることが示された。