[論文レビュー] L^p-L^p' Estimates for the Nonlinear Schroedinger Equation on the Line and Inverse Scattering for the Nonlinear Schroedinger Equation with a Potential

Ricardo Weder|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 1998

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 17被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、L^1_\gamma に属するポテンシャルを伴う1次元非線形シュレーディンガー方程式の解について、L^p–L^p' 評価を確立し、散乱作用素の低エネルギー極限が、ポテンシャルおよび非線形性を一意に特定することを証明する。これらの評価を用いて、著者は散乱作用素を構成し、\gamma > 3/2（零エネルギー半束縛状態が存在する例外的場合、\gamma > 5/2）の条件下で、逆散乱理論を用いてポテンシャルおよび非線形性の再構成法を提供する。

ABSTRACT

In this paper I prove a L^p-L^p' estimate for the solutions of the one-dimensional Schroedinger equation with a potential in L^1_gamma where in the generic case gamma > 3/2 and in the exceptional case (i.e. when there is a half-bound state of zero energy) gamma > 5/2. I use this estimate to construct the scattering operator for the nonlinear Schroedinger equation with a potential. I prove moreover, that the low-energy limit of the scattering operator uniquely determines the potential and the nonlinearity using a method that allows as well for the reconstruction of the potential and of the nonlinearity.

研究の動機と目的

• 1次元シュレーディンガー方程式の解について、L^1_\gamma に属するポテンシャルを伴う L^p–L^p' 評価を確立すること。
• これらの評価を用いて、ポテンシャルを伴う非線形シュレーディンガー方程式の散乱作用素を構成すること。
• 散乱作用素の低エネルギー極限が、ポテンシャルおよび非線形性を一意に特定することを証明すること。
• 散乱データからポテンシャルおよび非線形性を再構成するための手法を開発すること。
• 特に零エネルギー半束縛状態が存在する場合を含め、非線形ケースにおける逆散乱理論を拡張すること。

提案手法

• L^1_\gamma に属するポテンシャルを伴う線形化されたシュレーディンガー方程式について、L^p–L^p' 評価を導出し、一般の場合では \gamma > 3/2、零エネルギー半束縛状態が存在する例外的場合では \gamma > 5/2 を要件とする。
• 非線形性を散乱枠組み内での摂動とみなすことにより、これらの評価を非線形シュレーディンガー方程式に適用する。
• 逆散乱法を用いて、散乱作用素の低エネルギー極限からポテンシャルおよび非線形性を再構成する。
• ジョスト解および散乱行列を用いて、低エネルギー領域における解の振る舞いを分析する。
• 散乱作用素の低エネルギー領域における構造を分析し、ポテンシャルおよび非線形性に関する情報を抽出する。
• エネルギーがゼロに近づく際の散乱データの漸近的挙動を通じて、一意性および再構成を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元シュレーディンガー方程式に L^1_\gamma に属するポテンシャルを伴う場合、L^p–L^p' 評価をどのように確立できるか？
• RQ2 零エネルギー半束縛状態が存在する場合に、これらの評価が有効であるための \gamma の条件は何か？
• RQ3 これらの評価を用いて、ポテンシャルを伴う非線形シュレーディンガー方程式の散乱作用素を構成できるか？
• RQ4 散乱作用素の低エネルギー極限が、ポテンシャルおよび非線形性を一意に特定するか？
• RQ5 低エネルギー極限を用いて、散乱データからポテンシャルおよび非線形性を再構成することは可能か？

主な発見

• 1次元シュレーディンガー方程式に L^1_\gamma に属するポテンシャルを伴う場合、L^p–L^p' 評価が確立され、一般の場合には \gamma > 3/2 で有効である。
• 零エネルギー半束縛状態が存在する例外的状況では、評価は \gamma > 5/2 で成立する。
• 導出された L^p–L^p' 評価を用いて、ポテンシャルを伴う非線形シュレーディンガー方程式の散乱作用素が構成された。
• 散乱作用素の低エネルギー極限が、ポテンシャルおよび非線形性を一意に特定する。
• 散乱データからポテンシャルおよび非線形性を回復可能な再構成法が提供された。
• 結果は『Functional Analysis』第170巻（2000年、pp. 37–68）に掲載され、理論的枠組みの妥当性が確認された。