[論文レビュー] $L^p$-maximal hypoelliptic regularity of nonlocal kinetic Fokker-Planck operators

Zhen-Qing Chen, Xicheng Zhang|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、時間に依存する係数を有する非局所的運動論的 Fokker-Planck 方程式のクラスに対して、$L^p$-最大擬微分作用素正則性を確立し、解が強制項の $L^p$-ノルムに比例した分数階の空間的および速度的正則性を獲得することを証明する。主な結果は鋭い推定式であり、$p \in (1,\infty)$ に対して $\|\Delta_{x}^{\alpha/(2(1+\alpha))}u\|_p + \|\Delta_{\mathrm{v}}^{\alpha/2}u\|_p \leq C\|f\|_p$ が成り立つ。これは古典的擬微分作用素理論を非局所作用素へと拡張するものである。

ABSTRACT

For $p\in(1,\infty)$, let $u(t,x,v)$ and $f(t,x,v)$ be in $L^p(\mathbb{R} imes \mathbb{R}^d imes \mathbb{R}^d)$ and satisfy the following nonlocal kinetic Fokker-Plank equation on $\mathbb{R}^{1+2d}$ in the weak sense: $$ \partial_t u+v\cdot abla_x u=Δ^{α/{2}}_v u+f, $$ where $α\in(0,2)$ and $Δ^{α/{2}}_v$ is the usual fractional Laplacian applied to $v$-variable. We show that there is a constant $C=C(p,α,d)>0$ such that for any $f(t, x, v)\in L^p(\mathbb{R} imes \mathbb{R}^d imes \mathbb{R}^d)=L^p(\mathbb{R}^{1+2d})$, $$ \|Δ_x^{α/{(2(1+α))}}u\|_p+\|Δ_v^{α/{2}}u\|_p\leq C\|f\|_p, $$ where $\|\cdot\|_p$ is the usual $L^p$-norm in $L^p(\mathbb{R}^{1+2d}; d z)$. In fact, in this paper the above inequality is established for a large class of time-dependent non-local kinetic Fokker-Plank equations on $\mathbb{R}^{1+2d}$, with $U_t v$ and $\mathscr{L}^{ν_t}_{σ_t}$ in place of $v\cdot abla_x$ and $Δ^{α/2}_v$. See Theorem 3.3 for details.

研究の動機と目的

• 局所的でない運動論的 Fokker-Planck 作用素に、速度方向に分数階ラプラシアンを有する $L^p$-正則性理論を局所的から非局所的へと拡張すること。
• 位置変数および速度変数の両方において、解の鋭い分数階滑らかさ推定式を確立すること。
• フーリエ解析および特異積分技法を用いて、既知の $L^2$-結果を $p \in (1,\infty)$ の $L^p$-空間へ一般化すること。
• 一般の時間に依存する係数 $U_t$ および $\mathscr{L}^{\nu_t}_{\sigma_t}$ を有する時間に依存する非局所的運動論的方程式の擬微分作用素正則性を扱うこと。

提案手法

• 周波数空間における作用素の解析のためのフーリエ変換の使用により、偏微分方程式を乗数問題に変換する。
• 時間・位置・速度変数における混合ノルムを制御するため、ホルダーの不等式およびフォビニの定理の適用。
• 非局所作用素の記号 $\psi^{\nu_r}_{\sigma_r}$ から導かれる指数的減衰バウンドを用いて、振動積分の推定を行う。
• 変数変換および対称的推定の使用により、解の分数階ラプラシアンの $L^2$-ノルムをバウンドする。
• 弱型 $(1,1)$ 推定式の確立および補間を用いて、$L^2$-結果を $p \in (1,\infty)$ の $L^p$ へ拡張する。
• 滑らかで compact な台を持つ関数による近似および極限手続きを用いた主不等式の証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既知の $L^2$-結果を拡張して、$p \in (1,\infty)$ に対して分数階擬微分作用素正則性推定式 $\|\Delta_x^{\alpha/(2(1+\alpha))}u\|_p + \|\Delta_{\mathrm{v}}^{\alpha/2}u\|_p \leq C\|f\|_p$ が成り立つかどうか。
• RQ2 一般の時間に依存する係数を有する時間に依存する非局所的運動論的 Fokker-Planck 作用素に対し、$L^p$-最大擬微分作用素正則性を確立できるか。
• RQ3 速度方向に分数階ラプラシアンを有する非局所的運動論的方程式の解について、位置および速度変数における正則性の増加の正確なスケーリングは何か。
• RQ4 輸送項と非局所拡散項の相互作用が、解の $L^p$-正則性にどのように影響するか。

主な発見

• 本稿は鋭い $L^p$-最大擬微分作用素正則性推定式を確立した：すべての $p \in (1,\infty)$ に対して $\|\Delta_x^{\alpha/(2(1+\alpha))}u\|_p + \|\Delta_{\mathrm{v}}^{\alpha/2}u\|_p \leq C\|f\|_p$ が成り立ち、$C = C(p,\alpha,d) > 0$ である。
• この結果は、${{\mathrm{v}}\cdot\nabla_x}$ および $\Delta^{\alpha/2}_{\mathrm{v}}$ の代わりに $U_t{\mathrm{v}}$ および $\mathscr{L}^{\nu_t}_{\sigma_t}$ を有する、広範な時間に依存する非局所的運動論的 Fokker-Planck 方程式のクラスに対して成り立つ。
• $p=2$ の場合、証明はフーリエ解析、振動積分の $L^2$-有界性、および記号 $\psi^{\nu_r}_{\sigma_r}$ の指数的減衰推定に依存する。
• 推定式における定数 $C$ は解に依存せず、$p$、$\alpha$、および次元 $d$ のみに依存する。
• 補間および弱型推定を用いて、アレクサンダー（2015）およびブーシュ（2002）の既存の $L^2$-結果を、$p \in (1,\infty)$ の全範囲へ拡張した。
• 位置変数におけるスケーリング $\alpha/(2(1+\alpha))$ は最適であり、既知の $L^2$-ケースと一致し、作用素の分数階擬微分作用素的性質を裏付ける。