[論文レビュー] $L^p$ solutions of multidimensional BSDEs with weak monotonicity and general growth generators

Shengjun Fan|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、生成子 $g$ において弱い単調性条件と一般化された成長条件を満たす多変数の後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）について、$L^p$（$p>1$）解の存在と一意性を確立する。主な貢献は、リプシッツ条件や強い単調性仮定を越えて拡張されたこのような解についての安定性および比較定理の確立である。

ABSTRACT

In this paper, we first establish the existence and uniqueness of $L^p\ (p>1)$ solutions for multidimensional backward stochastic differential equations (BSDEs) under a weak monotonicity condition together with a general growth condition in $y$ for the generator $g$. Then, we overview several conditions related closely to the weak monotonicity condition and compare them in an effective way. Finally, we put forward and prove a stability theorem and a comparison theorem of $L^p\ (p>1)$ solutions for this kind of BSDEs.

研究の動機と目的

• 生成子 $g$ に対して古典的なリプシッツ条件を満たさない場合の、多変数 BSDE における $L^p$（$p>1$）解の存在と一意性を拡張すること。
• 生成子 $g$ における単調性条件を、強いまたは凹型のものから、一般化された $y$ における成長を伴う弱い単調性条件へ緩和すること。
• これらの一般化された条件下で、$L^p$ 解の安定性定理および比較定理を確立すること。
• 文献に現れるさまざまな単調性タイプの条件を統一し、それらの関係性と意味を明確にすること。

提案手法

• 生成子 $g$ における弱い単調性条件を、$\rho(0) = 0$ を満たす非減少かつ連続関数 $\rho(\cdot)$ を用いて定式化し、$\int_{0^+} \frac{u^{p-1}}{\rho^p(u)} du = \infty$ を満たすものとする。
• 生成子から導かれるモジュラー関数 $F(r)$ を用い、凹型の上界関数 $\bar{\rho}$ に置き換えることで、既知の存在結果への適用を可能にする。
• 空間 $\mathcal{S}^p \times \mathrm{M}^p$ において、事前推定とバナッハの不動点定理を用いて、$L^p$ 解の存在と一意性を証明する。
• 終端条件および生成子が収束する系列の BSDE の収束を分析することで、安定性定理を確立する。
• 弱い単調性および成長条件の下で、$L^p$ 解の比較定理を証明し、古典的な結果を多変数の場合にまで拡張する。
• 従来の条件における $\rho$ の凹性仮定を、連続性のみに緩和できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成子 $g$ がリプシッツ条件や強い単調性を満たさない弱い単調性条件および一般化された $y$ における成長条件を満たす場合、多変数 BSDE に対して $L^p$ 解が存在し、それが一意であるか。
• RQ2 生成子 $g$ におけるさまざまな単調性タイプの条件どうしの関係は何か。それらを統一的・効果的に比較できるか。
• RQ3 終端条件および生成子の摂動に対して、$L^p$ 解の安定性を保証する条件は何か。
• RQ4 弱い単調性および一般化された成長条件下で、多変数設定において $L^p$ 解の比較定理を確立できるか。
• RQ5 単調性条件における連続性モジュラス $\rho$ の凹性要件は必須であるか、それとも連続性のみに緩和可能か。

主な発見

• 弱い単調性条件および $y$ における一般化された成長条件の下で、多変数 BSDE に対して $L^p$（$p>1$）解の存在と一意性が確立された。
• 弱い単調性条件は、$\int_{0^+} \frac{u^{p-1}}{\rho^p(u)} du = \infty$ を満たす非減少かつ連続関数 $\rho$ を用いて定義され、従来の凹型仮定を一般化する。
• 従来の結果における $\rho$ の凹性仮定を、連続性のみに置き換えることができ、適用可能な生成子のクラスを著しく拡大する。
• 安定性定理が証明された：終端条件および生成子が $L^p$ で収束するならば、対応する $L^p$ 解は $\mathcal{S}^p \times \mathrm{M}^p$ で収束する。
• 弱い単調性および成長条件の下で、$L^p$ 解の比較定理が確立され、終端値および生成子が順序付けられている場合に解を比較可能となる。
• 証明技法は、導関数 $F(r)$ の凹型上界関数 $\bar{\rho}$ を構成することに依拠しており、必要な可積分性を満たし、既知の存在結果への適用を可能にする。