[論文レビュー] $L^p$-spectral multipliers for some elliptic systems

Peer Christian Kunstmann, Matthias Uhl|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2012

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^3$における有界リプシッツ領域上での3つの楕円型系—マクスウェル系、ホッジ境界条件を備えたストークス系、ラメ系—について、$L^p$-スペクトル乗数定理を確立する。ミトレアとモニャーの最近のリゾルベント推定を活用し、乗数関数に滑らかさと減衰の条件が課された場合、これらの作用素に関連するスペクトル乗数が、2のまわりの非自明な範囲の$p$に対して$L^p$上で有界であることを証明する。

ABSTRACT

We show results on $L^p$-spectral multipliers for Maxwell operators with bounded measurable coefficients. We also present similar results for the Stokes operator with Hodge boundary conditions and the Lamé system. Here we rely on resolvent estimates established recently by M.\ Mitrea and S.\ Monniaux.

研究の動機と目的

• 数学的物理に現れるマクスウェル、ストークス、ラメ作用素を含む系への$L^p$-スペクトル乗数理論を拡張すること。
• 係数の滑らかさが欠如する場合でも、これらの系について、$p \neq 2$ の$L^p$空間上でのスペクトル乗数の有界性を確立すること。
• ミトレアとモニャーによる最近のリゾルベント推定を活用し、関連する半群に対する一般化されたガウス型評価を導出すること。
• 乗数関数の正則性条件下で、これらの作用素の関数計算が$L^2$から2に近い$p$の範囲の$L^p$に拡張されることを示すこと。
• 係数行列$\varepsilon(\cdot)$が滑らかでない場合でも、有界かつ可測である場合に限り、結果が成り立つことを示すこと。

提案手法

• $L^2$における自己共役作用素のスペクトル定理とホロモーレック関数計算に依拠する。
• 楕円型系に付随する半群に対する一般化されたガウス型評価の枠組みを適用する。
• デイヴィスの摂動法を用いて、マクスウェル作用素の半群に対する一般化されたガウス型$(2,q)$-評価を導出する。
• ヘルムホルツ射影と可換であることから、マクスウェル作用素$M_2$がより大きな作用素$A_2$のスペクトル乗数性質を引き継ぐことを確立する。
• ミトレアとモニャーによるストークスおよびラメ作用素のリゾルベント推定に関する結果を適応し、一般化されたガウス型$(q_0', q_0)$-評価を導出する。
• 一般理論の定理2.3を適用し、乗数関数$F$の滑らかさと減衰の条件の下で、$L^p$-有界性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界可測で正定値な$\varepsilon(\cdot)$を持つマクスウェル、ストークス、ラメ作用素のような系に対して、$L^p$-スペクトル乗数定理を2より異なる$p$について拡張できるか。
• RQ2 乗数関数$F$にどのような条件を課すれば、$p \neq 2$ の場合に$F(A)$が$L^p$上で有界になるか。
• RQ3 リゾルベント推定と一般化されたガウス型評価は、$L^p$におけるスペクトル乗数の有界性とどのように関係するか。
• RQ4 領域$\Omega$の正則性および係数行列$\varepsilon(\cdot)$の正則性が、乗数定理の成り立つ$p$の範囲にどの程度影響を及えるか。
• RQ5 領域および係数に最小限の仮定を置いた場合に、ラメ系に対してもスペクトル乗数結果を拡張できるか。

主な発見

• 有界可測かつ正定値な$\varepsilon(\cdot)$を持つマクスウェル作用素に対して、スペクトル乗数$F(L)$は、2に近い非自明な区間内の$p$について、$L^p(\Omega,\mathbb{C}^3)$上で有界である。
• 有界性の鍵となる条件は、$s > 3|1/p - 1/2|$の下で$\sup_{n \in \mathbb{Z}} \| \omega F(2^n \cdot) \|_{C^s} < \infty$であることであり、これにより乗数の十分な滑らかさと減衰が保証される。
• 作用素ノルムの評価は、$\|F(L)\|_{L^p \to L^p} \leq C\left( \sup_n \| \omega F(2^n \cdot) \|_{C^s} + |F(0)| \right)$を満たし、$C$は$F$に依存しない。
• ディリクレ境界条件を備えたラメ系に対しては、領域の正則性に応じて、$q_0 \in [6, \infty]$の一般化されたガウス型$(q_0', q_0)$-評価が成り立つ。
• 領域$\Omega$が有界リプシッツ領域である場合、ラメ作用素は点ごとのガウス型評価を満たし、$q_0 = \infty$とできるため、乗数結果が$p \in (q_0', \infty)$にまで拡張できる。
• ホッジ境界条件を備えたストークス作用素については、$\varepsilon = I$の場合のマクスウェル作用素の特別な場合として、同じ$L^p$-有界性の性質を有する。