[論文レビュー] (l,s)-Extension of Linear Codes

Axel Kohnert|ArXiv.org|Jan 17, 2007

Coding theory and cryptography参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、最小重量の符号語ごとに少なくとも s 個の非ゼロ成分が追加されるように、l 列の列拡張を行う (l, s)-拡張法を導入し、最小距離を向上させる新しい線形符号の構築を目的としている。この手法は、交差行列から導かれるディオファントス方程式系を用いて、有効な列拡張を特定する。その結果、12個の新しい符号が得られ、特に最適な [88, 8, 54]₃ 符号が得られ、従来の知られていた上限を上回った。

ABSTRACT

We construct new linear codes with high minimum distance d. In at least 12 cases these codes improve the minimum distance of the previously known best linear codes for fixed parameters n,k. Among these new codes there is an optimal ternary [88,8,54] code. We develop an algorithm, which starts with already good codes C, i.e. codes with high minimum distance d for given length n and dimension k over the field GF(q). The algorithm is based on the newly defined (l,s)-extension. This is a generalization of the well-known method of adding a parity bit in the case of a binary linear code of odd minimum weight. (l,s)-extension tries to extend the generator matrix of C by adding l columns with the property that at least s of the l letters added to each of the codewords of minimum weight in C are different from 0. If one finds such columns the minimum distance of the extended code is d+s provided that the second smallest weight in C was at least d+s. The question whether such columns exist can be settled using a Diophantine system of equations.

研究の動機と目的

• 標準的なパリティビット拡張を超えて、最小距離を向上させる一般化された拡張法の開発を目的とする。
• 単一列拡張の制限を克服し、最小距離を s ≥ 1 だけ向上させる l 列拡張を可能にする。
• 組合せ的および代数的制約を用いて、有効な列拡張を系統的に特定するアルゴリズム的フレームワークの提供。
• 固定された n, k, q パラメータに対して、従来の知られていたものよりも高い最小距離を持つ新しい線形符号の構築。

提案手法

• (l, s)-拡張は、パリティ拡張を一般化したもので、生成行列に l 列を追加し、各最小重量符号語が少なくとも s 個の非ゼロ成分を追加で持つようにする。
• 各最小重量生成ベクトルと候補列との内積が非ゼロであるかどうかを示す、正規化された交差行列 D を構築する。
• 有効な (l, s)-拡張の存在は、D の各行が選択された l 列において少なくとも s 個の非ゼロ成分を持つ必要があるという要件から導かれるディオファントス方程式系の解法に還元される。
• 各最小重量符号語に対して s 個の非ゼロ成分を満たすために、重複を許す列のマルチセット選択を用いる。
• LLL-アルゴリズムを用いてディオファントス方程式系を解くことで、計算の実行可能性が向上し、小規模な l に対しては列挙やダンシングリンク法を代替として用いる。
• この手法は特殊な短縮の逆であり、(l,s)-拡張によって構築された符号は、拡張された符号を短縮することで回復可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 l 列の拡張により、最小距離を 1 より多く向上させつつ、符号長を l 列分だけ延長できる一般化された拡張法を開発できるか？
• RQ2 l 列の拡張が最小距離を少なくとも s 増加させる条件は何か？
• RQ3 代数的および組合せ的制約を用いて、このような拡張の存在を系統的に決定する方法は何か？
• RQ4 この手法により、固定された n, k, q に対して、従来の知られていたものよりも優れた最小距離を持つ新しい線形符号を発見できるか？
• RQ5 (l,s)-拡張法は、標準的拡張が失敗する場合においても、特に最適符号の構築に有効であるか？

主な発見

• 本稿では、これらのパラメータに対して理論的上限に達する最適な三進符号 [88, 8, 54]₃ を新たに構築した。
• 12個の新しい線形符号が発見され、[82, 8, 49]₃、[132, 8, 81]₃ および GF(4) 上の複数の [n, 6, d]₄ 符号が含まれ、いずれも従来の知られていた最良の最小距離を上回った。
• [88, 8, 54]₃ 符号は、1320 個の最小重量符号語を持つ [80, 8, 48]₃ 符号から出発し、(1,1)-拡張および (2,1)-拡張の系列を経て構築された。
• 単一列パリティ拡張が失敗する場合でも、本手法は成功しており、符号長の範囲にわたり、最小距離が常に最良の知られていた値を維持する状況での有用性を示した。
• 最小重量符号語が約 5000 個までの符号に対しても、LLL-ベースのディオファントス方程式系の解法により、計算複雑性が管理可能である。
• (l,s)-拡張法は、パリティ拡張および特殊な短縮の一般化であることが示され、符号構築における双対ペアを形成している。