[論文レビュー] Lévy processes with respect to the index Whittaker convolution

Rúben Sousa, Manuel Guerra+1 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Whittaker関数を用いて定義される[0, ∞)上の一般化畳み込みであるインデックスWhittaker畳み込みに関して、Lévy過程を導入する。Lévy-Khintchine表現を確立し、インデックスWhittaker拡散についてマルティンゲール特徴付けを証明する—これにより、Shiryaev過程の平方根が、ブラウン運動のLévy特徴付けと類似した性質を持つガウス過程であることが示される。

ABSTRACT

The index Whittaker convolution operator, recently introduced by the authors, gives rise to a convolution measure algebra having the property that the convolution of probability measures is a probability measure. In this paper, we introduce the class of Lévy processes with respect to the index Whittaker convolution and study their basic properties. We prove that the square root of the Shiryaev process belongs to our family of Lévy process, and this is shown to yield a martingale characterization of the Shiryaev process analogous to Lévy's characterization of Brownian motion. Our results demonstrate that a nice theory of Lévy processes with respect to generalized convolutions can be developed even if the usual compactness assumption on the support of the convolution fails, shedding light into the connection between the properties of the convolution algebra and the nature of the singularities of the associated differential operator.

研究の動機と目的

• インデックスWhittaker畳み込みという、畳み込みのコンパクトな台を要しない[0, ∞)上の一般化畳み込みに関して、Lévy過程の理論を構築すること。
• この一般化畳み込みの下で無限に可除な分布および畳み込み半群の存在を確立すること。
• インデックスWhittaker拡散をガウス過程として特徴付け、ブラウン運動のLévy定理に類似したマルティンゲール的特徴付けを提供すること。
• 標準的なハイパーグループコンパクト性条件が成立しない場合でも、生成子およびマルティンゲール性質を含む完全な確率過程理論を構築できることを示すこと。
• 離散時間$*$-加法的マルコフ連鎖への枠組みの拡張を行い、そのような過程について強大数法則を導出すること。

提案手法

• Whittaker関数$W_{\alpha,\nu}(x)$の修正された積分公式を用いて、有限Borel測度上のインデックスWhittaker畳み込みを定義し、確率測度の畳み込みが確率測度のままであることを保証する。
• Whittaker関数の新しいラプラス型積分表現を用いて、主要な解析的性質を導出し、畳み込み代数の構築を支援する。
• 一様な補助変数$U$を用いて定義される確率的演算$X \oplus_U Y$を通じて、$*$-加法的マルコフ連鎖の概念を導入し、和の分布が畳み込み$\mu * \nu$に一致することを保証する。
• インデックスWhittaker拡散の$L^2$-生成子を、Whittaker関数の固有関数と関連する微分作用素$\mathcal{L}$の負の形として特定する。
• マルティンゲール特徴付けを証明するため、連続過程$Z_t^{-\mathcal{L},\phi_1}$が二次変動$\frac{1}{2}\int_0^t Y_s^2 (\phi_1'(Y_s))^2 ds$を伴う局所マルティンゲールであることを示し、これによりインデックスWhittaker拡散のLévy型特徴付けを得る。
• ハイパーグループ理論におけるモーメント関数技法を応用し、インデックスWhittaker畳み込みの下での$*$-ランダムウォークについて強大数法則を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト性条件を満たさない一般化畳み込みに対して、意味のあるLévy過程の理論を構築できるか？
• RQ2 インデックスWhittaker拡散は、インデックスWhittaker畳み込みに関してガウス過程であるか？また、マルティンゲール的性質によって特徴付けられるか？
• RQ3 Shiryaev過程の平方根は、インデックスWhittaker畳み込みの下でLévy-Khintchine表現を有するか？
• RQ4 この畳み込み構造の下で、$*$-加法的マルコフ連鎖について強大数法則を確立できるか？
• RQ5 インデックスWhittaker拡散過程の$L^2$-生成子の明示的形は何か？

主な発見

• インデックスWhittaker拡散が、インデックスWhittaker畳み込みに関してガウス過程であることが示され、標準的なハイパーグループ設定を超えた良好に振る舞うLévy過程のクラスが拡張される。
• Shiryaev過程の平方根が、インデックスWhittaker畳み込みの下でLévy過程であることが証明され、この過程に新たな確率的解釈が与えられる。
• マルティンゲール特徴付けが確立された：連続過程$Y_t$がインデックスWhittaker拡散であるための必要十分条件は、$Z_t^{-\mathcal{L},\phi_1}$が二次変動$\frac{1}{2}\int_0^t Y_s^2 (\phi_1'(Y_s))^2 ds$を伴う局所マルティンゲールであることである。これは、ブラウン運動のLévy特徴付けと類似している。
• インデックスWhittaker拡散の$L^2$-生成子は、$-\mathcal{L}$として明示的に特定され、ここで$\mathcal{L}$はWhittaker関数の固有関数に関連する微分作用素である。
• $*$-ランダムウォークに関して、強大数法則が成り立つ：$\mathbb{E}[\widetilde{\varphi}_2(X_1)^{\theta/2}] < \infty$が$1 \leq \theta < 2$で成り立つならば、$\frac{1}{n^{1/\theta}}(\widetilde{\varphi}_1(S_n) - n\mathbb{E}[\widetilde{\varphi}_1(X_1)]) \to 0$ almost surely である。
• Whittaker関数の新しいラプラス型積分表現が導出され、これは独立に価値あるものであり、畳み込みの構築およびその確率的性質の根拠をなしている。