[論文レビュー] Löwner's Theorem in several variables

Miklós Pálfia|arXiv (Cornell University)|May 20, 2014

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 37被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、Löwnerの古典的定理の多変数非可換一般化を確立し、上側の演算子多角半空間から上側の演算子半空間へ解析接続可能な自由関数として、多変数の演算子単調関数を特徴づけている。非可換位相幾何学、行列凸性、LMIsを用いて、新しい積分公式を導出し、線形行列パネルのシュール補行列の条件付き期待値として、演算子単調かつ凹な自由関数をテンソル積演算子代数上に表現している——これは、Karcher平均を含むそのような平均の最初の閉形式表現を提供する。

ABSTRACT

In this paper we establish a multivariable non-commutative generalization of Löwner's classical theorem from 1934 characterizing operator monotone functions as real functions admitting analytic continuation mapping the upper complex half-plane into itself. The non-commutative several variable theorem proved here characterizes several variable operator monotone functions, not assumed to be free analytic or even continuous, as free functions that admit free analytic continuation mapping the upper operator poly-halfspace into the upper operator halfspace over an arbitrary Hilbert space. We establish a new abstract integral formula for them using non-commutative topology, matrix convexity and LMIs. The formula represents operator monotone and operator concave free functions as a conditional expectation of a Schur complement of a linear matrix pencil on a tensor product operator algebra. This formula is new even in the one variable case. The results can be applied to any of the various multivariable operator means that has been constructed in the last three decades or so, including the Karcher mean. Thus we obtain an explicit, closed formula for these operator means of several positive operators.

研究の動機と目的

• 1934年にLöwnerが示した演算子単調関数に関する定理を、多変数かつ非可換な設定へと拡張すること。
• 事前に解析的または連続的であると仮定せずに、複数の非可換演算子変数において演算子単調である自由関数を特徴づけること。
• 非可換位相幾何学と行列凸性を用いて、演算子単調および演算子凹な自由関数の新しい積分表現公式を導出すること。
• 線形行列パネルのシュール補行列を用いて、多変数の演算子平均（Karcher平均を含む）の閉形式表現を提供すること。
• 有界な演算子対から上側の演算子多角半空間へ、そのような関数の強い演算子連続性および自由解析的接続を確立すること。

提案手法

• 上側の演算子多角半空間 Π^k における自由関数の定義と分析に、非可換位相幾何学および自由関数論を用いる。
• 行列凸性および線形行列不等式（LMIs）を応用して、演算子単調関数の定義域と値域を特徴づける。
• 線形行列パネルのシュール補行列の条件付き期待値として、演算子単調かつ凹な自由関数を表す新しい積分公式を導出する。
• 非可換べき級数展開を用いて、定義域内の開球上で一様収束性および解析的接続を保証する。
• メビウス変換を用いて、有界な実数区間を (0, ∞) に写像し、解析的接続のための正定値の場合への還元を可能にする。
• 強い演算子連続性と有限ランク演算子による近似を活用して、結果を分離可能なヒルベルト空間から非分離可能なヒルベルト空間へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解析的性質を事前に仮定せずに、Löwnerの1変数の演算子単調性定理を非可換な複数の演算子変数へどのように一般化できるか。
• RQ2 複数の非可換変数において演算子単調であり、かつ上側の演算子多角半空間へ自由解析的接続をもつ自由関数の正確な特徴づけは何か。
• RQ3 非可換解析および行列不等式を用いて、多変数の演算子単調かつ凹な自由関数の閉形式積分表現を導出可能か。
• RQ4 このような表現を用いて、Karcher平均のような既知の多変数演算子平均を反復的でない、解析的な方法で明示的に計算可能か。
• RQ5 条件付き期待値および線形行列パネルのシュール補行列が、非可換演算子代数の文脈でこれらの関数を表現するにあたり、果たす役割は何か。

主な発見

• 本稿は、上側の演算子多角半空間 Π^k から上側の演算子半空間 Π へ解析的接続可能な自由関数として、多変数の演算子単調関数の完全な特徴づけを確立した。
• 演算子単調かつ演算子凹な自由関数を、テンソル積演算子代数上での線形行列パネルのシュール補行列の条件付き期待値として表す新しい積分公式が導出された。
• この公式は、非分離可能なヒルベルト空間を含むすべてのヒルベルト空間で有効であり、有限ランク演算子による近似を用いて強い演算子連続性が証明された。
• パラメータの選択にかかわらず一貫性が保たれ、非可換べき級数の収束により、定義域全体に一様に拡張可能であることが示された。
• 本手法により、Karcher平均を含む多変数演算子平均の明示的・閉形式での計算が可能となり、勾配降下法やニュートン型の反復的数値スキームを回避できる。
• 従来の正の実部を持つ自由解析関数に関する研究を一般化し、非可換解析における演算子平均の反復的でない解析的枠組みを提供した。