[論文レビュー] L2-Estimates for a High Order Unfitted Finite Element Method for Elliptic Interface Problems

Christoph Lehrenfeld, Arnold Reusken|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、滑らかなレベルセット関数を用いたパラメトリックマッピング技術により幾何学的近似を改善する高次非適合有限要素法を、楕円型界面問題に拡張し、最適な L²-誤差境界を導出する。この手法は、L²-ノルムにおける最適収束率を達成し、既存の H¹-ノルム誤差解析を補完する。

ABSTRACT

In the context of unfitted finite element discretizations the realization of high order methods is challenging due to the fact that the geometry approximation has to be sufficiently accurate. Recently a new unfitted finite element method was introduced which achieves a high order approximation of the geometry for domains which are implicitly described by smooth level set functions. This method is based on a parametric mapping which transforms a piecewise planar interface (or surface) reconstruction to a high order approximation. In the paper [C. Lehrenfeld, A. Reusken, Analysis of a High Order Finite Element Method for Elliptic Interface Problems, arXiv 1602.02970, submitted] an a priori error analysis of the method applied to an interface problem is presented. The analysis reveals optimal order discretization error bounds in the $H^1$-norm. In this paper we extend this analysis and derive optimal $L^2$-error bounds.

研究の動機と目的

• 既存の高次非適合有限要素法の事前誤差解析を H¹-ノルムから L²-ノルムへ拡張すること。
• 陰的に定義された界面を有する楕円型界面問題に対して、L²-ノルムにおける最適収束率を確立すること。
• パラメトリックマッピングによる幾何学的近似の向上を通じて、非適合メッシュでも高次精度を維持すること。
• H¹ および L²-誤差推定の両方をサポートする包括的な誤差解析フレームワークを提供すること。

提案手法

• 本手法は、パラメトリックマッピングを用いて、区分的平面な界面再構築を真の界面の高次近似に変換する。
• 幾何学的近似は滑らかなレベルセット関数に基づき、曲がった界面の高次精度表現を可能にする。
• 非適合有限要素法は、界面に依存しない背景メッシュを用い、切断要素を扱うために安定化技術を適用する。
• 解析は、最適収束性を保持する高次パラメトリック有限要素式に依拠する。
• L²-ノルムにおける誤差推定は、双対性の議論と補間誤差境界を用いて導出される。
• 界面が背景メッシュを切断しても、最適収束率が維持される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次非適合有限要素法を楕円型界面問題に適用した場合、最適な L²-誤差境界を導出できるか？
• RQ2 パラメトリックマッピング技術は、非適合離散化における L²-近似誤差にどのように影響するか？
• RQ3 界面が滑らかなレベルセット関数によって陰的に定義される場合、L²-ノルムにおける最適収束率が維持されるか？
• RQ4 L²-ノルムにおける幾何学的近似誤差とそれによる有限要素離散化誤差の相互作用は何か？
• RQ5 非適合法の文脈において、双対性技術を用いて L²-誤差解析を厳密に確立できるか？

主な発見

• 本手法は、与えられた有限要素空間に対して最良の収束率に一致する最適な L²-誤差境界を達成する。
• パラメトリックマッピングにより界面の高次近似が可能となり、L²-ノルムにおける最適収束性を維持するために不可欠である。
• 解析により、L²-誤差が H¹-誤差と同一の最適収束率で収束することが確認され、手法の頑健性が裏付けられる。
• 誤差境界は双対性の議論を用いて導出され、鋭く信頼性の高い収束推定が得られる。
• 滑らかな高次幾何表現のおかげで、界面が背景メッシュを切断しても、手法は安定的かつ高精度を維持する。
• H¹ および L²-ノルムの両方における誤差解析を完成させることで、非適合有限要素法の理論的基盤が拡張される。