[論文レビュー] L2-Properties of the dbar and the dbar-Neumann operator on spaces with isolated singularities

Nils Øvrelid, Jean Ruppenthal|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、孤立特異点をもつ複素空間とその解消における $L^2$-性質と $\bar\partial$-Neumann 箇筒の間の明確な対応関係を確立する。特異領域 $Ω^*$ における $L^2$-強凸性、閉じた範囲、コンパクト性といった性質が、滑らかで解消された領域 $Ω'$ においても同様に成り立つことを示し、これらが成り立つのは中間次元を除き、$Ω^*$ においてコンパクトな解作用素やコンパクトな $\bar\partial$-Neumann 箇筒が存在するための必要十分条件であることを示している。

ABSTRACT

Let X be a Hermitian complex space of pure dimension with only isolated singularities and p: M -> X a resolution of singularities. Let D be a relatively compact domain in X with no singularities in the boundary, D^*=D-Sing(X) the regular part of D and D'=p^{-1}(D) the preimage of D under p. We relate L2-properties of the dbar and the dbar-Neumann operator on D^* to properties of the corresponding operators on D' (where the situation is classically well understood). Outside some middle degrees, there are compact solution operators for the dbar-equation on D^* exactly if there are such operators on the resolution D', and the dbar-Neumann operator is compact on D^* exactly if it is compact on D'.

研究の動機と目的

• 孤立特異点をもつ複素空間上での $\bar\partial$-作用素および $\bar\partial$-Neumann 作用素の $L^2$-理論を理解すること。
• 既に十分に理解されている複素多様体上の $L^2$-理論と、まだ発展が不十分な特異複素空間上の理論との間のギャップを埋めること。
• 特異領域上でのコンパクトな解作用素およびコンパクトな $\bar\partial$-Neumann 作用素が存在するための、幾何学的および解析的条件を特定すること。
• 特異領域 $Ω^*$ 上での $\bar\partial$-作用素の $L^2$-性質とその解消 $Ω'$ 上での性質との間の明確な対応関係を確立すること。

提案手法

• 特異点の解消 $π: M \to X$ を用いて、特異領域 $Ω^* = \Omega \setminus \operatorname{Sing}X$ を複素多様体上の滑らかな領域 $Ω' = \pi^{-1}(\Omega)$ に引き上げること。
• 微分形式の引き戻しと押し出しを用いて、$Ω^*$ と $Ω'$ 上での $L^2$-コホロジーおよび $\bar\partial$-作用素の範囲の性質を比較すること。
• 標準的解作用素 ${\bf S}_{p,q}$ および ${\bf S}_{p,q+1}$ を用いて、$Ω^*$ 上の $\bar\partial$-Neumann 作用素 $N_{p,q}$ と $Ω'$ 上の $N_{p,q}^M$ を関連付けること。
• 恒等式 $N_{p,q} = {\bf S}_{p,q}^*{\bf S}_{p,q} + {\bf S}_{p,q+1}{\bf S}_{p,q+1}^*$ を用いて、$N_{p,q}$ のコンパクト性を解作用素のコンパクト性に帰着させること。
• 定理 6.2 で示されたように、$N_{p,q}$ がコンパクトであるための必要十分条件が、${\bf S}_{p,q}$ と ${\bf S}_{p,q+1}$ の両方がコンパクトであることであることを活用すること。
• 解消写像を通じて、$Ω^*$ 上での $δ$-作用素の像の閉じた範囲および有限余次元性が、$Ω'$ 上でも同様に成り立つこと、特に中間次元以外の次元で成り立つこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 孤立特異点をもつ領域上での $δ$-方程式に対して、コンパクトな解作用素が存在するための条件は何か？
• RQ2 特異複素空間上での $δ$-Neumann 作用素のコンパクト性は、その解消上での挙動とどのように関係するか？
• RQ3 形式型 $p,q$ の観点から、特異空間とその解消上での $L^2$-性質の対応関係が崩れる度合（次元）はどの程度か？
• RQ4 特異領域上での $δ$-作用素の $L^2$-コホロジーおよび範囲の性質は、その解消から完全に回復可能か？
• RQ5 特異領域上でのコンパクトな解作用素の存在と、その滑らかな解消上での存在との間に、明確な同値性が成立するか？

主な発見

• $Ω^*$ 上での $δ$-Neumann 作用素 $N_{p,q}$ がコンパクトであるための必要十分条件は、その解消 $Ω'$ 上での対応する作用素 $N_{p,q}^M$ がコンパクトであることである。ただし中間次元を除く。
• $Ω^*$ 上での $δ$-方程式のコンパクトな解作用素が存在するための必要十分条件は、$Ω'$ 上でも同様に成り立つ。中間次元を除く。
• $Ω^*$ 上での $δ_{p,q}$ および $δ_{p,q+1}$ の閉じた範囲性は、解消写像によって構造が保存されるため、$Ω'$ 上でも同様に成り立つ。
• $Ω^*$ 上の $L^2$-コホロジーは、すべての次元で $Ω'$ 上のコホロジーと同型であり、両者に調和的代表元が存在する。
• 恒等式 $N_{p,q} = {\bf S}_{p,q}^*{\bf S}_{p,q} + {\bf S}_{p,q+1}{\bf S}_{p,q+1}^*$ を用いて、$Ω^*$ 上の標準的解作用素 ${\bf S}_{p,q}$ および ${\bf S}_{p,q+1}$ がコンパクトであるための必要十分条件が、$Ω'$ 上の対応する作用素がコンパクトであることであることが示された。
• コンパクト性および閉じた範囲性の同値性は、解消全体にわたって一様に成り立つが、唯一の例外は、トポロジー的またはコホロロジー的障害によって対応関係が崩れうる中間次元（または中間次元）である。