[論文レビュー] La Budde's Method for Computing Characteristic Polynomials

Rizwana Rehman, Ilse C. F. Ipsen|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2011

Polynomial and algebraic computation参考文献 28被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、実行列の固有多項式を計算するためのLa Budde法を提示している。この手法は、直交的変換によるヘッセンベルク行列への還元と、再帰的な係数計算の組み合わせで構成され、特に対称行列、不定行列、非対称行列において、固有値の悪条件性に敏感で複素数演算を必要とするMATLABのpoly関数よりも優れた精度を示す。

ABSTRACT

La Budde's method computes the characteristic polynomial of a real matrix A in two stages: first it applies orthogonal similarity transformations to reduce A to upper Hessenberg form H, and second it computes the characteristic polynomial of H from characteristic polynomials of leading principal submatrices of H. If A is symmetric, then H is symmetric tridiagonal, and La Budde's method simplifies to the Sturm sequence method. If A is diagonal then La Budde's method reduces to the Summation Algorithm, a Horner-like scheme used by the MATLAB function POLY to compute characteristic polynomials from eigenvalues. We present recursions to compute the individual coefficients of the characteristic polynomial in the second stage of La Budde's method, and derive running error bounds for symmetric and nonsymmetric matrices. We also show that La Budde's method can be more accurate than POLY, especially for indefinite and nonsymmetric matrices A. Unlike POLY, La Budde's method is not affected by illconditioning of eigenvalues, requires only real arithmetic, and allows the computation of individual coefficients.

研究の動機と目的

• 固有値の悪条件性に起因する固有多項式の数値的不安定性を解消すること。特に、固有値が悪条件な場合に顕著である。
• 固有値計算と複素数演算に依存するMATLABのpoly関数の代替として、数値的に安定した手法を提供すること。
• 固有多項式の個々の係数を正確に計算可能とし、部分的な多項式が必要となる応用分野に有用であることを示すこと。
• 対称行列および非対称行列の両方に対して、係数計算中の誤差伝播を追跡するための実行誤差境界を導出すること。
• 対称不定行列において、poly関数が失敗するにもかかわらず、La Budde法が高相対精度を維持することを実証すること。

提案手法

• 実行列Aを直交的相似変換を用いて上三角ヘッセンベルク行列Hに還元し、固有値を保存するとともに数値的安定性を確保する。
• Hの主小行列を用いた再帰的係数計算により、Hの固有多項式を計算する。
• 手法の第二段階として、固有多項式の係数に関する再帰関係を導出する。
• 対称行列（補題5）および非対称行列（定理5）に対して実行誤差境界を確立し、係数計算中の誤差伝播を追跡する。
• 複素数演算を一切使用せず、実数演算のみを用いることで、数値的安定性を向上させる。
• テスト行列（例えば、フランク行列、チャウ行列、対称トーペリッツ行列）にこの手法を適用し、正確な基準値を得るために記号計算を用いてMATLABのpoly関数と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固有値が悪条件な場合に、La Budde法はMATLABのpoly関数よりも固有多項式係数を高精度に計算できるか？
• RQ2 対称行列および非対称行列に対して導出した実行誤差境界は、係数計算における実際の数値誤差をどの程度正確に予測できるか？
• RQ3 対称不定行列において、poly関数が固有値の条件数に起因して失敗するにもかかわらず、La Budde法は高相対精度を維持するか？
• RQ4 フランク行列のような、悪条件な固有多項式において、誤差が還元過程で拡大される可能性があるが、この手法はどのように性能を示すか？
• RQ5 量子物理学の応用分野で全多項式を計算する必要がない場合に、個々の係数を効率的かつ正確に計算できるか？

主な発見

• La Budde法は、対称不定三重対角トーペリッツ行列の固有多項式を高相対精度で計算でき、奇数番目の係数は正確に（誤差 ≈ 0）計算されるのに対し、poly関数は係数の大きさが最大10^185に達する。
• 50次フランク行列において、アルゴリズム2（La Budde法）は最初の20個の係数を高相対精度で計算し、数値的安定性においてpoly関数を上回る。
• 補題5における実行誤差境界は、対称トーペリッツ行列の奇数番目の係数が正確に計算されること（φ₂ⱼ₋₁ = 0）を正しく特定しており、実際の誤差と一致する。
• 転置されたチャウ行列に対しては、アルゴリズム2はすべての係数を高相対精度で計算するが、poly関数の相対誤差はインデックスが大きくなるにつれて著しく増加する。
• 標準的なチャウ行列では、ヘッセンベルク行列への還元が誤差を拡大するが、定理11における誤差境界は保守的であるものの、依然としてpoly関数を上回る性能を示す。
• La Budde法は実数演算のみを必要とし、約5n³回の演算で済むため、非対称行列および不定行列において、poly関数よりも高速かつ安定である。