[論文レビュー] La correspondance de Langlands locale p-adique pour GL_2(Q_p)

Laurent Berger|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2010

Advanced Algebra and Geometry被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、(φ,Γ)-加群の理論とp進ホッジ理論を用いて、GL₂(ℚₚ)におけるp進局所Langlands対応を確立する。2次元のp進ガロア表現とGL₂(ℚₚ)の適切なp進表現の間の関手的双対性を構成する。主な貢献は、三角型表現に対して体系的な構成を行い、クリスタリン表現のp進還元およびFontaine-Mazur予想への応用をもたらす点である。

ABSTRACT

La correspondance de Langlands locale p-adique pour GL_2(Q_p) est une bijection entre certaines representations de dimension 2 de Gal(Q_p^bar/Q_p) et certaines representations de GL_2(Q_p). Cette bijection peut en fait etre construite en utilisant la theorie des (phi,Gamma)-modules et des resultats d'analyse p-adique. On deduit alors des proprietes de cette construction quelques applications interessantes en arithmetique.

研究の動機と目的

• GL₂(ℚₚ)における関手的p進局所Langlands対応を、ガロア表現とGL₂(ℚₚ)-表現の間の関手的双対性として構成すること。
• (φ,Γ)-加群とp進解析を用いて、半単純なmod p対応を完全なp進対応に拡張すること。
• 三角型表現に対して、体系的な対応の構成を提供し、Breuilの先行例を一般化すること。
• 古典的局所Langlands対応およびp進還元ととの整合性を確立すること。
• 構成を用いてFontaine-Mazur予想の多くの場合を証明し、クリスタリン表現の還元を計算すること。

提案手法

• ロバ・環上のp進微分方程式を用いて、(φ,Γ)-加群の理論によりp進ガロア表現をパラメトライズする。
• p進ホッジ理論を適用し、ガロア表現をクリスタリン、半単純的、またはde Rhamに分類し、対応との整合性を保証する。
• Colmezの関手を用いて、(φ,Γ)-加群からGL₂(ℚₚ)の適切なバナッハ空間表現への関手的写像を実現する。
• 単位的主系列表現の構造を、それらに付随する(φ,Γ)-加群と勾配分解を用いて分析する。
• 過収束モジュラー形式の理論およびモジュラー曲線のコホモロジーを含むp進解析的技法を用いる。
• 三角型表現の理論を適用し、(φ,Γ)-加群上の勾配フィルトレーションを用いて、古典的状況を超えた対応を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GL₂(ℚₚ)におけるp進局所Langlands対応を、(φ,Γ)-加群とp進ホッジ理論を用いて体系的にどのように構成できるか？
• RQ2 p進局所Langlands対応と古典的局所Langlands対応との正確な関係は何か？
• RQ3 対応はp進還元に関してどのように振る舞い、これはmod p Langlandsプログラムにどのような意味を持つのか？
• RQ4 対応を用いてクリスタリンガロア表現のmod p還元を計算できるか？
• RQ5 2次元ガロア表現に対するFontaine-Mazur予想を、対応がどの程度支持するのか？

主な発見

• Colmezの関手を(φ,Γ)-加群に適用することで、2次元p進ガロア表現とGL₂(ℚₚ)の適切なバナッハ空間表現の間の関手的双対性として、GL₂(ℚₚ)におけるp進局所Langlands対応が構成された。
• 対応はp進還元と整合的であり、p進版からmod p Langlands対応を導出可能である。
• 対応はモジュラー曲線の完全コホモロジーに実現され、幾何的実現を提供する。
• この手法により、特に重さがp²未満の場合に、多くの場合でクリスタリン表現のmod p還元が計算可能となった。
• 対応により、Fontaine-Mazur予想の多数のケースが証明され、特定のp進ガロア表現がモジュラー形式から生じることを示した。
• 三角型表現に対しては、(φ,Γ)-加群上の勾配解析を用いて対応が明示的に構成され、Breuilの先行結果が一般化された。