[論文レビュー] La formule des traces locale tordue

Jean-Loup Waldspurger|arXiv (Cornell University)|May 5, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、局所体上の再帰的群に対して、単位的特徴χを介した非自明なねじれを含む場合に、アーバートの結果を一般化してねじれ局所トレース公式を確立する。幾何的およびスペクトル的分布の等式を、χ-不変の軌道積分と臨界的χ-表現を含む形で示し、ねじれペイリー＝ウィーナー定理およびカスプ空間における特徴の正規直交性を導く。これは再帰的群の表現論における基礎的結果を拡張する。

ABSTRACT

The local trace formula gives strong relations between two types of invariant distributions on a reductive group defined over a local field: orbital integrals and characters of representations. For connected reductive groups, the formula was proved by J. Arthur. We extend the formula to twisted spaces, that is, roughly speaking, to non-connected reductive groups. The formula has the same consequences as in the connected case. In particular, we compute the elliptic product of tempered elliptic twisted representations.

研究の動機と目的

• 単位的特徴χを用いて、アーバートの局所トレース公式をねじれ設定に一般化する。
• ねじれ空間˜G(F)上のχ-不変分布に関して、幾何的・スペクトル的等式を確立する。
• アーベル型および非アーベル型の局所体の両方に対して、ペイリー＝ウィーナー定理をねじれの場合に拡張する。
• カスプ空間Icusp(˜G(F), ω)における臨界的χ-表現特徴の正規直交性を証明する。
• 重み付き軌道積分およびχ-表現を用いて、トレース公式のスペクトル的および幾何的側を特徴付ける。
• 安定的トレースおよび安定化因子を用いて、χ-表現の特徴の内積の公式を提示する。

提案手法

• G(F)の元gに対してlf(gf) = ω(g)⁻¹l(f)を満たす線形汎関数lとして、˜G(F)上のχ-不変分布を定義する。
• 2種類の分布を導入する：ねじれ軌道積分I˜G(γ, ω, f)とχ-表現の特徴I˜G(˜π, f) = trace(˜π(f))。
• 幾何的側J˜Ggeom(ω, f1, f2)を、相対ワイル群を含む係数を持つ、リーマン部分群˜Mに関する重み付き軌道積分の和として構成する。
• スペクトル的側J˜Gspec(ω, f1, f2)を、同じリーマン部分群に関する、臨界的χ-表現の特徴および重み付きスペクトル項の和として定義する。
• 一般化されたねじれペイリー＝ウィーナー定理（任意のωに拡張可能）を適用し、公式を不変形式I˜Ggeom(ω, f1, f2) = I˜Gdisc(ω, f1, f2)に変換する。
• 楕円的三重組(M, σ, ˜r)および安定化因子の理論を用いて、トレース公式と共役類の和を介して特徴の内積を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位的特徴χを伴うねじれ設定における、局所トレース公式の適切な幾何的およびスペクトル的定式化は何か？
• RQ2 特徴χ = 1の場合から任意の単位的χへのねじれペイリー＝ウィーナー定理の拡張はどのように行えるか？
• RQ3 ˜G(F)ell上のχ-不変カスプ関数の空間における内積構造は何か？
• RQ4 χ-表現の特徴は、安定的トレースおよび共役類の観点からどのように分解されるか？
• RQ5 ねじれ状況における幾何的側（重み付き軌道積分）とスペクトル的側（χ-表現の特徴）の正確な関係は何か？

主な発見

• ねじれ局所トレース公式により、幾何的側J˜Ggeom(ω, f1, f2)とスペクトル的側J˜Gspec(ω, f1, f2)の等式が確立され、アーバートの結果がねじれ状況に一般化される。
• ZG(F)θがコンパクトであるという仮定の下で、スペクトル的側I˜Gdisc(ω, f1, f2)には臨界的χ-表現特徴のみが含まれ、幾何的側I˜Ggeom(ω, f1, f2)は不変重み付き軌道積分の和として表される。
• ˜G(F)ell上の2つの特徴Θ(˜π˜ρ1, γ)とΘ(˜π˜ρ2, γ)の内積は、W˜Greg(σ)に属する正則元˜rに関する和で与えられ、|det((1−˜r)|A˜GM|)と安定化因子を含む係数が付く。
• 関連する三重組(M1, σ1, ˜r1)と(M2, σ2, ˜r2)が共役でない場合、内積(˜π˜ρ1, ˜π˜ρ2)ellは0に等しい。
• 三重組が共役であり、かつW G0(σ) = {1}である場合、内積は|RG(σ)|⁻¹ ∑˜r∈R˜Gess(σ)∩W˜Greg(σ) |det((1−˜r)|A˜GM|) trace(˜ρ1(˜r)) trace(˜ρ2(˜r))に簡略化される。
• Θ(˜π, γ)の˜G(F)ellへの制限の族は、空間Icusp(˜G(F), ω)における正規直交基底をなす。各基底要素のノルムはトレース公式を用いて明示的に計算可能である。