[論文レビュー] La théorie de l'homotopie des 2-catégories

Jonathan Chiche|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本学位論文は、2-圏のホモトピー理論を確立するために、2-Catにおけるクィレンモデル構造を構成し、ホモトピー圏がネ混合関手を介して小圏のホモトピー圏と同値であることを証明する。この研究は、単体的道具、基本的局所化、およびクィレンの定理Aの2-圏版を用いて、グロタンディークのホモトピー理論を圏から2-圏へ一般化する。その結果、ネ混合関手がホモトピー圏 Ho(Cat) と Ho(2-Cat) の間の同値を誘導することが示される。

ABSTRACT

On développe une théorie de l'homotopie des 2-catégories analogue à la théorie de l'homotopie des catégories développée par Grothendieck dans "À la poursuite des champs". Il s'agit de la thèse de doctorat de l'auteur. We develop a homotopy theory of 2-categories analogous to Grothendieck's homotopy theory of categories developed in "Pursuing Stacks." This is the author's PhD thesis.

研究の動機と目的

• グロタンディークのホモトピー理論を圏から2-圏へ拡張すること。
• 2-圏的文脈における基本的局所化を定義し、その性質を研究すること。
• 小圏と2-圏のホモトピー圏の間のクィレン同値性を確立すること。
• クィレンの定理Aを2-圏およびラックス準同型へ一般化すること。
• ネ混合関手によって検出可能な弱同値を持つ2-Catにおけるモデル構造を構成すること。

提案手法

• 小圏から単体的集合へのネ混合関手 N: Cat → b∆ 及びその2-圏的類似を用いて、2-圏と単体的集合とを関連付ける。
• 基本的局所化の理論を応用し、2-Catにおける弱同値を定義する。
• ラックス準同型および2-関手に対する2-圏的クィレンの定理Aの版を構成する。
• ねじれシリンダーと2-切断を導入し、2-Catにおけるホモトピー型を分析する。
• c: b∆ → Cat と N: Cat → b∆ の随伴関手を用い、グロタンディーク構成を用いて2-圏へ拡張する。
• 単体的集合にSdおよびEx関手を適用し、ネ混合を安定化させ、Catと2-Catの間でクィレン同値を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ネ混合関手によって検出可能な弱同値を持つ2-Catにおけるクィレンモデル構造は存在するか？
• RQ2 クィレンの定理Aは、ラックス関手の文脈において2-圏へ一般化可能か？
• RQ3 2-圏のホモトピー圏と小圏のホモトピー圏の関係は何か？
• RQ4 基本的局所化は2-圏的文脈においてどのように振る舞うか？
• RQ5 ネ混合関手は Ho(Cat) と Ho(2-Cat) の間の同値を誘導するか？

主な発見

• ネ混合関手 N: Cat → b∆ は、小圏のモデル圏と単体的集合のモデル圏の間でクィレン同値を誘導する。
• 2-圏のホモトピー圏 Ho(2-Cat) は、小圏のホモトピー圏 Ho(Cat) と同値である。
• ラックス関手に対して2-圏的クィレンの定理Aの版が成り立ち、2-Catにおける弱同値の判定基準を提供する。
• 2-Catの基本的局所化は、ネ混合関手および2-スケルトン切断を用いて特徴付けられる。
• 随伴 (c, N) は2-Cat上でクィレン同値を誘導しないが、合成 cSd² と Ex²N はそのような同値を誘導する。
• グロタンディーク2-圏 ∆/X の構成は、ホモトピー圏のレベルでネ混合関手のホモトピー的逆を提供する。