[論文レビュー] Labeled Nearest Neighbor Search and Metric Spanners via Locality Sensitive Orderings

Arnold Filtser|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2022

Data Management and Algorithms被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、高次元のユークリッド空間、ℓp空間、ダブリング空間に対して、効率的なラベル付き近似最近傍探索（NNS）およびメトリックスパニヤ構築を可能にする、新たな局所性に敏感な順序付け（LSO）を導入する。より大きなストレッチを許容することで、順序付けの数を削減し、スパニヤのための空間と軽さの上限を改善した。また、LSOを用いて効率的なラベル付きNNSデータ構造を設計し、高次元メトリック空間における現在の技術水準を著しく進展させた。

ABSTRACT

Chan, Har-Peled, and Jones [SICOMP 2020] developed locality-sensitive orderings (LSO) for Euclidean space. A $(τ,ρ)$-LSO is a collection $Σ$ of orderings such that for every $x,y\in\mathbb{R}^d$ there is an ordering $σ\inΣ$, where all the points between $x$ and $y$ w.r.t. $σ$ are in the $ρ$-neighborhood of either $x$ or $y$. In essence, LSO allow one to reduce problems to the $1$-dimensional line. Later, Filtser and Le [STOC 2022] developed LSO's for doubling metrics, general metric spaces, and minor free graphs. For Euclidean and doubling spaces, the number of orderings in the LSO is exponential in the dimension, which made them mainly useful for the low dimensional regime. In this paper, we develop new LSO's for Euclidean, $\ell_p$, and doubling spaces that allow us to trade larger stretch for a much smaller number of orderings. We then use our new LSO's (as well as the previous ones) to construct path reporting low hop spanners, fault tolerant spanners, reliable spanners, and light spanners for different metric spaces. While many nearest neighbor search (NNS) data structures were constructed for metric spaces with implicit distance representations (where the distance between two metric points can be computed using their names, e.g. Euclidean space), for other spaces almost nothing is known. In this paper we initiate the study of the labeled NNS problem, where one is allowed to artificially assign labels (short names) to metric points. We use LSO's to construct efficient labeled NNS data structures in this model.

研究の動機と目的

• 高次元メトリック空間における局所性に敏感な順序付け（LSO）を構築し、必要な順序付けの数を削減する。ストレッチを増やすことで効率性を向上させる。
• 点に人工的なラベルを割り当てることで、探索効率を向上させるラベル付き最近傍探索（NNS）モデルを導入する。
• さまざまなメトリック空間において、パス報告可能で、故障に強く、信頼性があり、軽量なスパニヤを、新しいLSOを用いて構築する。
• 高次元およびダブリングメトリック空間におけるスパニヤオラクルの弱スパarsityおよび軽さに関する理論的保証を提供する。
• 一般メトリック空間におけるラベル付きNNSのギャップを埋め、従来の研究が暗黙的な距離表現を有する空間に限定されていたことを解消する。

提案手法

• 高次元のユークリッド空間およびℓp空間に対して、(τ,ρ)-LSOの新規構築法を提案し、次元に指数関数的に依存する順序付けの数を、ストレッチを増加させることで、次元に指数関数的に依存しない部分にまで削減する。
• 効率的なラベル付きNNSおよびスパニヤ構築を可能にする構造的ツールとして、ルート付きLSOおよび三角形LSOを導入する。
• ℓp空間における球体の交差の体積および幾何的性質を用いて、必要な順序付けの数を上限づける。
• LSOから導かれるパスグラフ上での2ホップ、3ホップ、4ホップのスパニヤオラクルを用い、直線上のスパーススパニヤ構築法を応用することで、パス報告可能なスパニヤを構築する。
• ラムゼイツリーとクラン埋め込みを活用し、一般メトリック空間において決定的ラベル付きNNSを実現する。
• メタ定理を適用してLSOを弱スパarsityオラクルに変換し、その後、(1+ϵ)-スパニヤおよびt-スパニヤの軽さの上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元のユークリッド空間およびℓp空間に対して、より大きなストレッチを許容することで、順序付けの数を次元に指数関数的に依存しないものにできるか？
• RQ2 高次元空間におけるLSOにおいて、ストレッチと順序付けの数のトレードオフはどのようなものか？
• RQ3 距離が暗黙的に表現できない一般メトリック空間において、ラベル付きNNSを効率的に解けるか？
• RQ4 LSOをどのように用いて、さまざまなメトリック空間で低軽さ、低ホップ数、故障耐性のあるスパニヤを構築できるか？
• RQ5 LSOから導かれるスパニヤオラクルの弱スパarsityおよび軽さのタイトな上限は何か？

主な発見

• d次元ユークリッド空間において、弱スパarsity O_d(ϵ^(-d)) · log(1/ϵ) の (1+ϵ)-スパニヤオラクルを構築した。これにより、軽さが O_d(ϵ^(-d-1)) · polylog(1/ϵ) であることが示された。
• t ∈ [4, 2√d] の範囲において、(1+ϵ)^4t-スパニヤオラクルの弱スパarsityが exp(d/(2t²)) · (1+2/t²) · Õ(d^1.5 / ϵ²) · log n であり、軽さも同程度のオーダーであることを達成した。
• p ∈ [1,2] のℓp空間において、t-スパニヤオラクルの弱スパarsityが exp(O(d/t^p)) · Õ(d·t) · log∗n であり、対応する軽さも同様のオーダーである。
• p ∈ [2,∞] のℓp空間において、4·d^(1−1/p)-スパニヤオラクルの弱スパarsityが Õ(d^(2−1/p)) · log∗n であり、軽さも同程度のオーダーである。
• 本稿は、一般メトリック空間におけるラベル付きNNSのための最初のデータ構造を、人工ラベルを用いて提供した。決定的構築法はラムゼイツリーを、確率的構築法はクラン埋め込みを用いた。
• 一般メトリック空間におけるラベル付きNNSは、非定数のラベルサイズを必要とすることを示す下界を確立した。これは、構造的仮定の必要性を強調している。