[論文レビュー] Lack of Equality between Abel and Cesaro Limits in Discrete Optimal Control and the Implied Duality Gap

Ilya Shvartsman|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2020

Optimization and Variational Analysis参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コンpactな状態空間を持つ離散時間最適制御例を構築し、長期間平均コストおよび割引コスト問題におけるCesàroおよびAbel極限が一致しないことを示し、無限次元線形プログラミング（IDLP）定式化における双対ギャップを実証する。この結果は、標準的なコンパクト性および連続性の仮定のもとでも、最適制御から導かれるIDLP問題において、一般に強い双対性が成立しないことを確認する。

ABSTRACT

In a recent paper it has been shown that if Cesaro and Abel limits for a certain discrete time optimal control problem are not equal, then there is a duality gap between a certain infinite-dimensional linear programming problem and its dual. In this paper we construct an example of a problem satisfying the assumptions of the aforementioned paper, where Cesaro and Abel limits are different.

研究の動機と目的

• 標準的な仮定の下で、離散時間最適制御問題においてCesàroとAbel極限が一致しない可能性があることを示すこと。
• このような不等式が、無限次元線形計画法（IDLP）とその双対問題との間の双対ギャップを意味することを示すこと。
• 先行理論的結果の仮定を満たすが、極限が等しくない具体的な例を構築すること。
• 連続時間における既知の反例を、コンパクトな状態空間を持つ離散時間へと拡張すること。
• 最適制御のIDLP定式化における、極限の不等式と双対ギャップの理論的関係を検証すること。

提案手法

• 区分的定数関数としてのコスト関数 g(x) を持つ連続時間非制御系を、離散時間制御系に適応する。
• 状態空間 Y がコンパクトかつ不変であることを保証するために、x ∈ [0,2] でゼロであり、x ≥ 3 で負になる摂動項 q(x) を用いて動的を修正する。
• 制御制約を課して y(t) が区間内で一定となるようにし、区分的定数制御方策による軌道の近似を可能にする。
• f および g の連続性を保証するため、不連続コスト関数 g の滑らか化版を用いる。これにより、必要な正則性条件を満たす。
• 平均および割引コスト値の漸近的挙動を分析するために、Tauber型の議論を適用する。
• f, g, および U(·) の一様連続性およびHausdorff連続性を用いて、V_T(y₀) および h_α(y₀) の連続性を確立し、IDLP双対理論の適用可能性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな状態空間を持つ離散時間最適制御問題において、CesàroとAbel極限が一致しないことはあり得るか？
• RQ2 CesàroとAbel極限の不等式は、関連する無限次元線形プログラミング（IDLP）定式化において双対ギャップを意味するか？
• RQ3 先行するIDLP双対理論の仮定を満たすが、極限が異なる具体的な例を構築することは可能か？
• RQ4 動的およびコスト関数の構造は、平均コストおよび割引コスト値の収束にどのように影響するか？
• RQ5 状態および制御集合のコンパクト性および連続性は、これらの極限の存在および等価性にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 初期状態 y₀ に対して、Cesàro極限 lim_{T→∞} V_T(y₀) と Abel極限 lim_{α↑1} h_α(y₀) が存在するが、それらが等しくない離散時間最適制御系が構築された。
• この例は、[4] の定理4.1のすべての仮定を満たしており、Y のコンパクト性、f および g の連続性、U(·) の一様Hausdorff連続性が保証されている。
• CesàroとAbel極限の不等式は、主問題および双対問題の無限次元線形計画法（IDLP）間の双対ギャップを意味する。
• 初期状態 x₀ ∈ (1+ε, 2−ε) かつ y₀ = 0 の場合、平均コストおよび割引コストの最適値は両方ともゼロに収束し、この場合においても等価性が保たれる。
• 構築は、コンパクト不変集合と q(x) を用いた修正動的を根拠としており、軌道が有界に保たれ、系がコンパクト集合上で進化することを保証する。
• 証明により、IDLPの最適値がその双対の最適値より厳密に小さいことが示され、双対ギャップの存在が確認された。