[論文レビュー] Lacunary hyperbolic groups

A. Yu. Olshanskii, Denis Osin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 36被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、少なくとも1つのR木を含む漸近的コーンをもつ、有限生成群である「穴あき双曲群」を導入する。著者たちは、双曲性定数と単射半径を制御した双曲群の直限界としてこれらの群を特徴づけ、未解決問題を解決する：漸近的コーンの基本群が非自明（具体的にはπ₁ ≅ ℤ）である群の構成（同相的に木と円周の積に同相）、Tarskiの怪物群やねじれ群が段階的小崩壊を用いて双曲的漸近的コーンをもつことの証明、および非線形だが線形に近い発散関数をもつ群の構成。

ABSTRACT

We call a finitely generated group lacunary hyperbolic if one of its asymptotic cones is an R-tree. We characterize lacunary hyperbolic groups as direct limits of Gromov hyperbolic groups satisfying certain restrictions on the hyperbolicity constants and injectivity radii. Using central extensions of lacunary hyperbolic groups, we solve a problem of Gromov by constructing a group whose asymptotic cone C has countable but non-trivial fundamental group (in fact C is homeomorphic to the direct product of a tree and a circle, so π_1(C)=Z). We show that the class of lacunary hyperbolic groups contains elementary amenable groups, groups with all proper subgroups cyclic, and torsion groups. This allows us to solve two problems of Drutu and Sapir, and a problem of Kleiner about groups with cut-points in their asymptotic cones. We also construct a finitely generated group whose divergence function is not linear but is arbitrarily close to being linear. This answers a question of Behrstock.

研究の動機と目的

• 穴あき双曲群を、双曲性定数と単射半径に制限を加えた双曲群の直限界として定義・特徴づける。
• Gromovの問題を解決するため、漸近的コーンの基本群が非自明（特にπ₁ ≅ ℤ）である群を構成する。
• Tarskiの怪物群やねじれ群が段階的小崩壊提示をもつことができることを示し、それによってすべての漸近的コーンが双曲的かつ木に局所的に等長であることを保証する。
• DruţuとSapir、Kleinerの関する漸近的コーンにおける切断点に関する未解決問題を解決する。
• 線形でないが線形に非常に近い発散関数をもつ有限生成群を構成し、Behrstockの質問に答えを提示する。

提案手法

• 双曲性定数と単射半径に制約を加えた双曲群の直限界による穴あき双曲群の特徴づけ。
• 穴あき双曲群の中心拡大を用いて、非自明な基本群をもつ漸近的コーン（具体的には木と円周の積に同相）を構成する。
• 双曲群上での段階的小崩壊条件を導入し、すべての漸近的コーンが双曲的かつ木に局所的に等長であることを保証する。
• 双曲群上の小崩壊におけるGreendlingerの補題を適用し、van Kampen図形を制御し、漸近的コーンの双曲性を証明する。
• 超フィルターによる超極限と漸近的コーンを用いて、大規模幾何を分析し、群のコーン構造からその性質を導出する。
• KapovichとKleiner（付録）の結果を活用し、ある漸近的コーンがR木であれば、群が有限生成かつ有限提示可能ならば、群は双曲的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成群が非自明な基本群をもつ漸近的コーンをもつことは可能か？ もしそうなら、どのような構造をもつのか？
• RQ2 Tarskiの怪物群やねじれ群は、すべての漸近的コーンが双曲的となるような提示をもつだろうか？
• RQ3 有限生成群の発散関数が非線形だが線形に近いか、どの程度線形に近づけることができるか？
• RQ4 漸近的コーンにおける切断点の存在と群の代数的構造との関係は何か？
• RQ5 ある漸近的コーンがR木である群が、常に双曲的である条件は何か？

主な発見

• 木と円周の積に同相な漸近的コーンをもつ群が存在し、その基本群はℤに同型である。これはGromovの問題を解決する。
• 穴あき双曲群には、非仮想的巡回でない初等的可換群、Tarskiの怪物群、ねじれ群が含まれる。
• Tarskiの怪物群やねじれ群は、段階的小崩壊提示をもち、それによってすべての漸近的コーンが双曲的かつ木に局所的に等長であることが保証される。
• 線形でないが、線形に任意に近い発散関数をもつ有限生成群が構成され、Behrstockの質問に答えが与えられる。
• 有限提示可能で、ある漸近的コーンがR木である群は、Gromovの6.8.Mおよび6.8.N補題の適応版を用いて、必然的に双曲的であることが示される。
• 有限提示性が双曲性を導く十分条件として、ケイリー図形における大きな球が制御された定数のもとで一様に双曲的であることが挙げられ、これにより一様なGromov双曲性の境界が得られる。