[論文レビュー] Ladder and Subdivision of Ladder Graphs with Pendant Edges are Odd Graceful

M. I. Moussa, E. M. Badr|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2016

Graph Labeling and Dimension Problems被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ラッパーグラフおよびその変種に対して、奇グレーシャスラベリングの新クラスを導入し、ラッパーグラフにパビリオンエッジを追加したグラフ（Ln + mk₁）、その部分分割（S(Ln) + mk₁）、およびパビリオンエッジを備えた三角形スネークの部分分割（S(Δ-k snake) + mk₁）がすべて奇グレーシャスであることを証明している。著者らは、算術級数と偶奇性に基づく割り当てを用いて、一対一の頂点および辺ラベリングを実現する明示的なラベリング方式を確立し、奇グレーシャス条件を満たしている。

ABSTRACT

The ladder graph plays an important role in many applications as Electronics, Electrical and Wireless communication areas. The aim of this work is to present a new class of odd graceful labeling for the ladder graph. In particular, we show that the ladder graph Ln with m-pendant Ln + mk1 is odd graceful. We also show that the subdivision of ladder graph Ln with m-pendant S(Ln) + mk1 is odd graceful. Finally, we prove that all the subdivision of triangular snakes (delt-k snake) with pendant edges S(delt-k snake)+ mk are odd graceful.

研究の動機と目的

• パビリオンエッジを備えたラッパーグラフを含む新しい構成を導入することで、奇グレーシャスグラフのクラスを拡張すること。
• パビリオンエッジを備えた部分分割ラッパーグラフおよび三角形スネークの変種の奇グレーシャス性を調査すること。
• 提案されたグラフ族に対して、奇グレーシャスラベリング条件を満たす明示的なラベリングアルゴリズムを提供すること。
• 構造的グラフ族に対して、既存のグレーシャスラベリングの結果を奇グレーシャス枠組みへ一般化すること。

提案手法

• 算術級数と偶奇性に基づく割り当てを用いた頂点ラベリング方式を提案し、奇数の辺ラベルが得られるように保証する。
• Ln + mk₁ に対しては、頂点に連続する奇数を割り当て、その絶対差として得られる辺ラベルがすべて異なる奇数になるようにラベリングを構築する。
• 部分分割ラッパーグラフ S(Ln) + mk₁ に対しても、同じラベリング戦略を適用し、辺上に頂点を挿入し、それに応じてラベルを再割り当てする。
• 三角形スネーク（Δ-k スネーク）にパビリオンエッジを追加する場合、ラベリングをスネークの巡回的構造および追加されたパビリオンに適応して拡張する。
• 辺ラベルがすべて 1 から 2m−1 の範囲の異なる奇数であることを確認することで、奇グレーシャス条件を検証する。ここで m は辺の数を表す。
• 帰納的および構成的技法を用いて、提案されたすべてのグラフ族に対してラベリングが正当化されることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パビリオンエッジを備えたラッパーグラフは奇グレーシャスラベリング可能か？
• RQ2 パビリオンエッジを備えた部分分割ラッパーグラフは奇グレーシャスか？
• RQ3 三角形スネークの部分分割にパビリオンエッジを追加した場合、奇グレーシャス性は拡張可能か？
• RQ4 これらの構造的グラフ族において、異なる奇数の辺ラベルを保証するラベリング戦略は何か？
• RQ5 部分分割やパビリオン付加といったグラフの変更において、頂点および辺ラベルの割り当てはどのようにして奇グレーシャス条件を維持するか？

主な発見

• すべての m ≥ 1 に対して、m 個のパビリオンエッジを備えたラッパーグラフ Ln（Ln + mk₁）は奇グレーシャスである。
• すべての m ≥ 1 に対して、部分分割ラッパーグラフ S(Ln) に m 個のパビリオンエッジを追加したグラフ（S(Ln) + mk₁）は奇グレーシャスである。
• すべての m ≥ 1 に対して、三角形スネーク（Δ-k スネーク）の部分分割に m 個のパビリオンエッジを追加したグラフ（S(Δ-k snake) + mk₁）は奇グレーシャスである。
• 著者らは、重複のない一対一の奇数辺ラベルを達成する明示的なラベリング構成を提供している。
• ラベリング方式は、すべてのテストされたグラフ族において一貫しており、設計上奇グレーシャス条件を満たしている。
• 結果として、パビリオンエッジを備えたラッパーグラフおよびスネークグラフの構造的変種を含む、既知の奇グレーシャスグラフのクラスが拡張された。