[論文レビュー] Ladder Operators and Endomorphisms in Combinatorial Physics

Gérard Duchamp, Laurent Poinsot+4 more|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ヒルベルト＝ワイル代数から導かれる一般化されたラダー演算子を用いて、形式的冪級数空間上の自己準同型写像を展開する厳密な数学的枠組みを確立する。主な貢献は、任意の連続的自己準同型写像が、一般化されたスターリング数と関連する無限行有限行列を係数とする、反復された一般化ラダー演算子の和として表現可能であることを示す表現定理である。

ABSTRACT

Starting with the Heisenberg-Weyl algebra, fundamental to quantum physics, we first show how the ordering of the non-commuting operators intrinsic to that algebra gives rise to generalizations of the classical Stirling Numbers of Combinatorics. These may be expressed in terms of infinite, but {\em row-finite}, matrices, which may also be considered as endomorphisms of $\C[[x]]$. This leads us to consider endomorphisms in more general spaces, and these in turn may be expressed in terms of generalizations of the ladder-operators familiar in physics.

研究の動機と目的

• 量子力学的ラダー演算子と一般化スターリング数などの組合せ論的構造を結びつけること。
• 作用素代数を用いて、形式的冪級数空間の無限次元空間上での自己準同型写像の作用を形式化すること。
• 標準的な生成/消滅演算子を超えて、任意の基底や非標準的交換関係に対してラダー演算子の概念を一般化すること。
• 連続的自己準同型写像を、反復された一般化ラダー演算子の無限級数として表現すること。
• ヒルベルト＝ワイル代数における非可換作用素の順序付けが、一般化スターリング数として自然に現れることを示すこと。

提案手法

• 量子調和振動子を基礎とする、交換関係 $[A, B] = I$ で定義されるヒルベルト＝ワイル代数から出発する。
• 正規順序とそれに伴うイデアル商を用いて、非可換多項式の代数的構造を定義する。
• 無限行有限行列を、$\mathbb{C}[[\mathtt{x}]]$ 上の自己準同型写像の表現として導入し、一般化スターリング数と関連付ける。
• 双対性と位相を用いて、有限次元の結果を双対空間上の形式的無限線形結合へ拡張する。
• 一般化ラダー演算子 $\widehat{L}_{\mathbf{e},\boldsymbol{\alpha}}$ および $\widehat{R}_{\mathbf{e},\boldsymbol{\beta}}$ を、$\widehat{V}_{\mathbf{e}}$ 上の連続的自己準同型写像として定義する。
• 任意の連続的自己準同型写像 $\phi$ が、$\sum_{n\in\mathbb{N}} \widehat{R}_{\mathbf{e},\boldsymbol{\beta}}^n P_n(\widehat{L}_{\mathbf{e},\boldsymbol{\alpha}})$ の形に展開可能であり、ここで $P_n$ は多項式で、級数は空間の位相において収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト＝ワイル代数における作用素の順序付けと交換関係は、一般化スターリング数をどのように生じさせるか？
• RQ2 無限行有限行列は、形式的冪級数空間上の自己準同型写像をどのように表現するか？
• RQ3 量子物理学におけるラダー演算子の概念は、任意の基底や非標準的交換関係へ一般化可能か？
• RQ4 形式的冪級数空間上の連続的自己準同型写像が、反復された一般化ラダー演算子の級数に展開可能となるための条件は何か？
• RQ5 無限次元線形系の文脈において、降下作用素と上昇作用素の双対性はどのように一般化されるか？

主な発見

• 一般化スターリング数は、ヒルベルト＝ワイル代数の要素の指数関数の表現における行列係数として現れる。
• このような作用素によって生成される1パラメータ群は、組合せ論的数列の中心的役割を果たすシェッファー型の母関数に対応する。
• $\mathbb{C}[[\mathtt{x}]]$ 上の自己準同型写像は、無限行有限行列と同型であり、空間上の線形変換として作用する。
• 任意の連続的自己準同型写像 $\phi$ は、$\sum_{n\in\mathbb{N}} \widehat{R}_{\mathbf{e},\boldsymbol{\beta}}^n P_n(\widehat{L}_{\mathbf{e},\boldsymbol{\alpha}})$ の形に一意に展開可能であり、ここで $P_n$ は多項式で、級数は和として収束する。
• 交換子 $[\widehat{L}_{\mathbf{e},\boldsymbol{\beta}}, \widehat{R}_{\mathbf{e},\boldsymbol{\alpha}}]$ は $\sum_{n\in\mathbb{N}} \widehat{R}_{\mathbf{e},\boldsymbol{\alpha}}^n P_n(\widehat{L}_{\mathbf{e},\boldsymbol{\beta}})$ に等しく、標準的交換関係を一般化する。
• 対角作用素 $D_{\mathbf{e},\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\alpha}}$ の $\widehat{D}_{\mathbf{e},\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\alpha}}$ への拡張は適切に定義されており、$[\widehat{L}_{\mathbf{e},\boldsymbol{\beta}}, \widehat{R}_{\mathbf{e},\boldsymbol{\alpha}}]$ に等しく、無限次元設定における一貫性が確認される。