[論文レビュー] Ladder operators, Fock-spaces, irreducibility and group gradings for the Relative Parabose Set algebra

K. Kanakoglou, Alfredo Herrera–Aguilar|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、1つのパラボソン的および1つのパラフェルミオン的自由度を有する相対的パラボース・セット代数 $P_{BF}^{(1,1)}$ に対して、無限個の同値でない、非可約で無限次元のフォック型表現を構成する。階層演算子を導入した勾配付きフォック空間上で、直接計算により非可約性を証明し、$(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)$-勾配を導入することで、これらの表現が勾配モジュールとして構造を持つことを確立した。これにより、長年の非可約性に関する予想が裏付けられた。

ABSTRACT

The Fock-like representations of the Relative Parabose Set ( extsc{Rpbs}) algebra in a single parabosonic and a single parafermionic degree of freedom are investigated. It is shown that there is an infinite family (parametrized by the values of a positive integer $p$) of infinite dimensional, non-equivalent, irreducible representations. For each one of them, explicit expressions are computed for the action of the generators and they are shown to be ladder operators (creation-annihilation operators) on the specified Fock-spaces. It is proved that each one of these inf. dim. Fock-spaces is irreducible under the action of the whole algebra or in other words that it is a simple module over the extsc{Rpbs} algebra. Finally, $(\mathbb{Z}_{2} imes \mathbb{Z}_{2})$-gradings are introduced for both the algebra $P_{BF}^{(1,1)}$ and the Fock-spaces, the constructed representations are shown to be $(\mathbb{Z}_{2} imes \mathbb{Z}_{2})$-graded, $P_{BF}^{(1,1)}$-modules and the relation between our present approach and similar works in the literature is briefly discussed.

研究の動機と目的

• 1つのパラボソン的および1つのパラフェルミオン的自由度を有する相対的パラボース・セット代数 $P_{BF}^{(1,1)}$ のフォック型表現を構築・分析すること。
• これらの表現が非可約である、すなわち代数作用の下で非自明な不変部分空間を有さないことを証明すること。
• 代数およびフォック空間の両方に$(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)$-勾配を導入し、勾配モジュール構造を確立すること。
• Mathematica用のQuantumアドオンを用いた記号的計算により、表現の一貫性を検証すること。
• パラボソン場を含む拡張されたJaynes-Cummingsモデルを含む、一般化された量子光学モデルへの応用を検討すること。

提案手法

• 代数 $P_{BF}^{(1,1)}$ は生成子 $b^+, b^-, f^+, f^-$ と32個の三重線形関係式（交換関係および反交換関係を含む）によって定義される。
• フォック空間のベクトルへの生成子の作用の明示的公式が導出され、これらが生成・消滅演算子としての役割を果たすことが示された。
• 直接計算により非可約性が証明され、載体空間内に真の不変部分空間が存在しないことが確認された。
• フォック空間および代数に$(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)$-勾配を導入し、表現を勾配モジュールとして構造化した。
• Mathematica 7.0のQuantumアドオンを用い、一般化されたディラック記法を用いて関係式の記号的検証を実施した。
• 先行研究における$\theta$-色付きリーダイクス代数および文献における勾配構造と本フレームワークを比較した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数 $P_{BF}^{(1,1)}$ に対して、無限個の同値でない非可約で無限次元の表現が存在するか？
• RQ2 代数 $P_{BF}^{(1,1)}$ の生成子は、フォック空間上で階層演算子として実現可能であり、その明示的作用は何か？
• RQ3 フォック空間は、代数 $P_{BF}^{(1,1)}$ 全体の作用に関して非可約モジュールか？
• RQ4 代数およびフォック空間の両方に$(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)$-勾配を一貫的に定義し、勾配モジュールを構成するにはどうすればよいか？
• RQ5 本構成は、Jaynes-Cummingsモデルのような一般化された量子光学モデルにどのような意味を持つのか？

主な発見

• 正の整数 $p$ をパrameterとする、無限個の同値でない無限次元の非可約表現の族が構成された。
• フォック空間のベクトルへの生成子 $b^+, b^-, f^+, f^-$ の作用の明示的公式が導出され、階層演算子としての役割が確認された。
• フォック空間が $P_{BF}^{(1,1)}$ の上での非可約モジュールであることが証明され、グリーンバーグとメイサージの元々の研究における予想が裏付けられた。
• 代数 $P_{BF}^{(1,1)}$ 及びそのフォック空間表現に$(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)$-勾配が導入され、勾配モジュールとしての構造が得られた。
• 記号的計算により表現の一貫性が検証され、すべての代数的関係式が保存されていることが確認された。
• 本フレームワークは、パラボソン場を含む拡張されたJaynes-Cummingsモデルを含む、量子光学モデルの一般化の基盤を提供する。