[論文レビュー] Laderman matrix multiplication algorithm can be constructed using Strassen algorithm and related tensor's isotropies

Alexandre Sedoglavic|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2017

Tensor decomposition and applications参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Ladermanの3×3行列乗算アルゴリズム（ランク23）が、Strassenの2×2アルゴリズムに群の対称性（等方性）を適用することによって構成可能であることを示している。古典的な3×3乗算テンソルは、対称性群の下で最適な2×2アルゴリズムの軌道と補正項に分解される。主な貢献は、3×3行列乗算構造を保存する群の作用によってLadermanのアルゴリズムが生じることを示す幾何的構成であり、既知のアルゴリズムの間の深い対称性に基づく関係を明らかにしている。

ABSTRACT

In 1969, V. Strassen improves the classical~2x2 matrix multiplication algorithm. The current upper bound for 3x3 matrix multiplication was reached by J.B. Laderman in 1976. This note presents a geometric relationship between Strassen and Laderman algorithms. By doing so, we retrieve a geometric formulation of results very similar to those presented by O. Sykora in 1977.

研究の動機と目的

• Strassenの2×2行列乗算アルゴリズムとLadermanの3×3アルゴリズムの間の幾何的関係を解明すること。
• 3×3行列乗算テンソルの対称性（等方性）が、既知のアルゴリズムを再構成するために用いられるかを調査すること。
• Ladermanのアルゴリズムが、テンソル構造を保存する群作用の下でStrassenのアルゴリズムの軌道から導出可能であることを示すこと。
• Ladermanのアルゴリズムにおける補正項が、群の軌道から生じることを示し、統一的な幾何的枠組みを確認すること。

提案手法

• 本稿は、行列乗算を三線形形式として表現する簡略化されたテンソルフレームワークを用いる。
• ランク1テンソルへの群作用（Kとして表記）を定義し、行列乗算テンソルの対称性をモデル化する。
• 古典的な3×3行列乗算テンソルは、次のように分解される：(1) 群Kによる2×2 Strassenアルゴリズムの軌道、(2) 投影˜M¹¹¹の軌道、(3) 補正項R。
• 群作用Kは特定のテンソル成分上で推移的に作用し、これにより低ランク成分から3×3アルゴリズム全体が構成可能である。
• 構成されたアルゴリズムのテンソルランクが、2×2成分のランク（19）と補正項のランク（4）の和として23に等しいことを示している。
• 構成は、明示的なテンソル縮約と対称性の軌道に依存しており、検証にはコンピュータ代数システム（Maple）が用いられている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Ladermanの3×3行列乗算アルゴリズムは、幾何的対称性を用いてStrassenの2×2アルゴリズムから導出可能か？
• RQ2 テンソルの等方性は、異なる行列乗算アルゴリズムを結ぶ役割を果たすか？
• RQ3 Ladermanのアルゴリズムにおける補正項は、対称性群の下での群軌道とどのように関係するか？
• RQ4 既知の行列乗算アルゴリズムの構造は、対称性群の下で小さな最適アルゴリズムの軌道として理解可能か？
• RQ5 2×2の基本的構成要素を用いて3×3行列乗算アルゴリズムを構成する統一的な幾何的枠組みは存在するか？

主な発見

• Ladermanの3×3行列乗算アルゴリズム（ランク23）は、対称性群Kの下でStrassenの2×2アルゴリズムの軌道の和として構成可能であり、テンソルランクは19である。
• アルゴリズムにおける補正項Rのランクは4であり、特定のランク1テンソル（例：e³₃⊗e³₂⊗e²₃ および e³₃⊗e³₃⊗e³₃）の群軌道から生じる。
• 全アルゴリズムは M = K⋄(e¹₁⊗e¹₁⊗e¹₁) + K⋄(˜M¹¹¹) - R として表現され、最初の項は2×2最適アルゴリズムに対応し、2番目の項は全テンソルの射影に対応する。
• 得られたテンソルは、Ladermanの元のアルゴリズムと同一の型（ランクおよび行列ランクプロファイル）を有しており、同一アルゴリズムの変種であることが確認された。
• 構成により、3×3行列乗算テンソルの対称性（等方性）が2×2および3×3アルゴリズムを結ぶ上で不可欠であることが明らかになった。
• Mapleを用いた記号計算による検証がなされた幾何的枠組みにより、群作用が、より小さなアルゴリズムから既知の行列乗算アルゴリズムを体系的に生成可能であることが示された。