[論文レビュー] Lagrange approximation of transfer operators associated with holomorphic data

Oscar F. Bandtlow, Julia Slipantschuk|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2020

Quantum chaos and dynamical systems被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、正則関数データと関連する転送作用素のためのラグランジュ補間に基づくスペクトル近似スキームを提示し、固有値および固有関数の指数的収束を達成する。この手法はコロケーション点と多項式補間を用いて行列近似を構築し、その収束速度は基礎となる力学系の複素収縮比によって決定される。

ABSTRACT

We show that spectral data of transfer operators given by holomorphic data can be approximated using an effective numerical scheme based on Lagrange interpolation. In particular, we show that for one-dimensional systems satisfying certain complex contraction properties, spectral data of the approximants converge exponentially to the spectral data of the transfer operator with the exponential rate determined by the respective complex contraction ratios of the underlying systems. We demonstrate the effectiveness of this scheme by numerically computing eigenvalues of transfer operators arising from interval and circle maps, as well as Lyapunov exponents of (positive) random matrix products and iterated function systems, based on examples taken from the literature.

研究の動機と目的

• 正則力学系に由来する転送作用素の数値的に効率的なスペクトル近似手法の開発。
• ウラム法などの従来の射影ベース手法の最適でない収束速度を克服すること。
• コロケーション点におけるラグランジュ補間を用いて、固有値および固有関数の指数的収束を確立すること。
• リャプノフ指数および定常測度を含むスペクトルデータを計算する実用的かつ実装可能なアルゴリズムの提供。
• 区間写像、円周写像、確率的行列積、反復関数系からの数値的例を通じて、本手法の有効性の提示。

提案手法

• 本手法は、$n$ 個のコロケーション点で補間する $n$ 次多項式への写像を定義するラグランジュ補間を用いて、射影作用素 $\Pi_n$ を構築する。
• 転送作用素 $\mathcal{L}$ は、$\mathcal{L}_n = \Pi_n \mathcal{L} \Pi_n$ として近似され、$\mathcal{L}e_j$ をコロケーション点 $x_i$ で評価することにより $n \times n$ 行列として表現される。
• コロケーション点はチェビシェフ多項式の根または楕円型曲線上に選ばれ、スペクトル収束を保証する。
• 本スキームはコロケーションまたはスペクトルガレルキン法を用いて実装され、ガレルキン法や有限節方式に必要な高価な積分や微分を回避する。
• 写像成分の正則拡張を活用して、複素収縮解析を可能にする楕円領域 $E_{\gamma,R}$ を定義する。
• 近似作用素 $\mathcal{L}_n$ の固有関数的性質を用いて、不変測度に関する積分およびリャプノフ指数の計算が行われる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジュ補間は、正則関数データを有する転送作用素のスペクトル近似において指数的収束を達成できるか？
• RQ2 ラグランジュ–チェビシェフコロケーション法の収束速度は、ウラムの有限節法などの古典的手法と比べて如何にか？
• RQ3 複素収縮比が、固有値および固有関数の指数的収束速度を決定する役割を果たすか？
• RQ4 本手法は、正則生成子を有する反復関数系のリャプノフ指数および定常測度を効果的に計算できるか？
• RQ5 本手法は、正則拡張を有する区間写像および円周写像の転送作用素にどの程度まで適用可能か？

主な発見

• 近似作用素のスペクトルデータは、基礎力学系の複素収縮比 $r/R$ に従って、完全な転送作用素のスペクトルデータへ指数的収束する。
• 区間写像例 $\Phi_1(x) = \frac{1}{6}\sin(\pi x/4) + \frac{1}{4}$, $\Phi_2(x) = \frac{1}{3}\sin(\pi x/4) + \frac{2}{3}$ において、$n=100$ 時にリャプノフ指数を89桁の精度で計算し、周期18軌道からの先行結果と一致した。
• 最適収縮比は数値的に $r/R \approx 0.4138$ と特定され、リャプノフ指数近似の指数的収束率が $O((0.4138)^n)$ であることが示された。
• 円周写像例では、収縮比 $r/R \approx 0.53$ を用いて指数的収束を達成し、理論的予測と整合的であった。
• 正則性仮定のもとで、古典的手法（例：ウラム型）の $O(\log n / n)$ 収束に比べ、本手法は指数的収束を達成する。
• 本スキームは実用的に効率的であり、数値積分や高階微分を回避し、チェビシェフ–ガウス求積法を用いて行列評価を実装可能である。