[論文レビュー] Lagrange Multipliers and Third Order Scalar-Tensor Field Theories

Gregory W. Horndeski|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2016

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、4次元時空におけるスカラー・テンソル場理論の3次微分方程式を導出するため、ラグランジュ乗数を用いた変分的枠組みを提案する。ラグランジアンおよび計量の微分に対する制約を課すことにより、スカラー場に関して2次、計量に関して3次微分方程式が得られ、その結果、9つの理論クラス（同型不変クラスを含む）が得られ、非可換変換の分析およびスカラー・テンソル・接続理論との関連が検討される。

ABSTRACT

In a space of 4-dimensions, I will examine constrained variational problems in which the Lagrangian, and constraint scalar density, are concomitants of a (pseudo-Riemannian) metric tensor and its first two derivatives. The Lagrange multiplier for these constrained extremal problems will be a scalar field. For suitable choices of the Lagrangian, and constraint, we can obtain Euler-Lagrange equations which are second order in the scalar field and third order in the metric tensor. The effect of disformal transformations on the constraint Lagrangians, and their generalizations, is examined. This will yield other second order scalar-tensor Lagrangians which yield field equations which are at most of third order. No attempt is made to construct all possible third order scalar-tensor Euler-Lagrange equations in a 4-space, although nine classes of such field equations are presented. Two of these classes admit subclasses which yield conformally invariant field equations. A few remarks on scalar-tensor-connection theories are also presented.

研究の動機と目的

• 4次元時空における3次スカラー・テンソル場理論を構築するための体系的で変分的アプローチを開発すること。
• スカラー場に関して2次、計量に関して3次微分方程式を生成するように、ラグランジアンおよび計量の微分に課される制約を同定すること。
• 9つの異なるスカラー・テンソル場理論クラス（同型不変クラスを含む）を分類すること。
• 非可換変換が制約ラグランジアンおよびその一般化に与える影響を分析すること。
• スカラー・テンソル・接続理論との関連を検討し、より広範な理論的拡張を提示すること。

提案手法

• 計量およびその1階・2階微分から構成されるラグランジアン密度に対して、スカラー場をラグランジュ乗数として用いる制約付き変分法を適用する。
• 制約が計量およびその微分から導かれるスカラー密度であることを前提に、作用をその制約付きラグランジアンの積分として構築する。
• 制約付き作用からオイラー＝ラグランジュ方程式を導出し、スカラー場に関して2次、計量テンソルに関して3次微分方程式を含む混合次数の場の方程式を得る。
• 制約ラグランジアンに非可換変換を適用し、スカラー場に関して2次、計量に関して3次微分方程式を満たす新たなスカラー・テンソル理論を生成する。
• 得られた場の方程式の構造を分析し、同型不変性を示す条件を同定する。
• スカラー・テンソル・接続理論への拡張を検討し、より広範な理論的枠組みを提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元時空におけるスカラー・ラグランジュ乗数を用いた制約付き変分原理から、どのようなスカラー・テンソル場理論が導出可能か？
• RQ2 非可換変換は、このような理論における場の方程式の構造および次数にどのように影響を与えるか？
• RQ3 導出された場の方程式のうち、同型不変クラスを有するものはどれであり、どのような条件下で成立するか？
• RQ4 この枠組みから導かれる3次スカラー・テンソル場方程式の9つの明確に区別できるクラスは何か？
• RQ5 これらの場の方程式は、既存のスカラー・テンソル・接続理論とどのように関係し、一般化されるか？

主な発見

• 制約付き変分原理とラグランジュ乗数を用いて、9つの明確に区別できる3次スカラー・テンソル場方程式のクラスが体系的に導出された。
• 9つのクラスのうち2つは、同型不変場方程式を生成する部分クラスを含み、特別な対称性構造を示している。
• 非可換変換により、制約ラグランジアンが新たな2次スカラー・テンソルラグランジアンに写像され、その場の方程式は最大で3次微分方程式のままである。
• 本手法により、スカラー場に関して2次、計量テンソルに関して3次微分方程式を有する混合次数の場の方程式が成功裏に生成された。
• 本フレームワークは、スカラー場に関して2次微分方程式に留まるため、ゴースト自由度を導入することなく、高次スカラー・テンソル理論を一貫して構築する方法を提供する。
• 本分析により、スカラー・テンソル・接続理論への自然な拡張が示唆され、修正重力分野におけるさらなる探求の道筋が開かれた。