[論文レビュー] Lagrangian 3-torus fibrations

Ricardo Castaño-Bernard, Diego Matessi|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特異点をもつ整数アフィン多様体上でのラグランジュ3トーラスファイブレーションのシンプレクティックコンパクト化を、局所的トランスフォーメーションと負の特異ファイバーのためのピecewise smoothラグランジュモデルを用いて構成する。主な結果は、シンプレクティック6次元多様体で、5次カルラビ＝ヤウ3-foldと同相であり、ピecewise smoothラグランジュファイブレーションを持つもので、グロスの位相的ミラー対称性をシンプレクティックなカテゴリーで実現する。

ABSTRACT

We give a method to construct singular Lagrangian 3-torus fibrations over certain a priori given integral affine manifolds with singularities, which we call simple. The main result of this article is the proof that the topological Calabi-Yau compactifications of M. Gross' "Topological Mirror Symmetry", can be made into symplectic compactifications. As an example, we obtain a pair of compact symplectic 6-manifolds together with Lagrangian fibrations whose underlying affine structures are dual. The symplectic manifolds obtained are homeomorphic to a smooth quintic Calabi-Yau 3-fold and its mirror.

研究の動機と目的

• 位相的ミラー対のコンパクト化をシンプレクティックなカテゴリーで実現するため、全空間にシンプレクティック構造を構成すること。
• 特異ファイバーが負で、ピecewise smoothであり、混合次元の特異的分岐集合を持つ場合のラグランジュモデルを構築する課題を解決すること。
• 特異点をもつ整数アフィン多様体のコンパクト化が、5次カルラビ＝ヤウ3-foldと同相なシンプレクティック6次元多様体をもたらすことを証明すること。
• ラグランジュファイブレーションの枠組みを、次元1の分岐集合を持つ非滑らかで局所的に負のファイバーを含むように拡張し、ジョイスの予想と整合するようにすること。

提案手法

• 正則部分にアフィン構造 $ \mathscr{A} $ を持ち、分岐集合 $ \Delta $ を除いた基底 $ B_0 = B \setminus \Delta $ 上にラグランジュファイブレーションを構成する。
• アフィン構造を用いて、正確な完全列 $ 0 \to \Lambda \to T^*B_0 \to X(B_0) \to 0 $ を介して、$ \Lambda $ を余接 bundle 内の最大格子とするトーラス bundle $ X(B_0) \to B_0 $ を定義する。
• 負の頂点に対して、アモーバ型の分岐集合を持つ局所的ラグランジュ負ファイブレーション $ \mathcal{F}^- $ を構成し、3本の脚が頂点付近で次元2の特異点に圧縮されるようにする。
• 元のアフィン多様体内の各負の頂点の近傍に収まるように、負ファイブレーションモデルをスケーリング $ \epsilon \omega^- $ で小さくする。
• 負の頂点の近傍を特異的アモーバ構造に置き換えるために、局所的トランスフォーメーション $ \Delta_\lozenge $ を用いて負ファイブレーションモデルと基底を接合する。
• 一般特異ファイブレーションを辺に沿ってプロポジション4.18を用いて接合し、すべてのファイバー型に整合性を保つようにしてコンパクト化を完了する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジュ3トーラスファイブレーションの位相的カルラビ＝ヤウコンパクト化を、シンプレクティックコンパクト化に拡張することは可能か？
• RQ2 ピecewise smoothかつ混合次元の分岐集合を持つラグランジュファイブレーションが、シンプレクティックなカテゴリーでどのように構成可能か？
• RQ3 このようなファイブレーションを用いて、5次カルラビ＝ヤウ3-foldと同相な6次元多様体にシンプレクティック構造を実現することは可能か？
• RQ4 本稿で構築されたシンプレクティックコンパクト化は、5次カルラビ＝ヤウ3-foldとそのミラーの間のミラー対称性双対性をシンプレクティックなカテゴリーで実現するか？

主な発見

• ピecewise smoothラグランジュファイブレーション $ f: X \to B $ を持つシンプレクティック6次元多様体 $ (X, \omega) $ が構成され、$ f $ は codimension-one 分岐集合 $ \Delta_\lozenge $ を除いて滑らかである。
• 全空間 $ X $ は、グロスの位相的コンパクト化により、滑らかな5次カルラビ＝ヤウ3-fold とそのミラーと同相である。
• ファイブレーション構造により、双対なアフィン構造が実現される：正のファイバーは頂点、一般のファイバーは辺、負のファイバーは負の頂点の厚化近傍に対応する。
• ラグランジュ負ファイブレーションは、元の負ファイブレーションの摂動として構成され、特異点が図8型特異点に局所化され、分岐集合が次元1にジャンプするように強制される。
• 可換図式内のシンプレクティズム $ \Psi $ により、コンパクト化されたシンプレクティック多様体 $ X $ が基底 $ B_\lozenge $ 上の初期トーラスバンドルとシンプレクティックに共役であり、アフィン構造が保存される。
• 本構成により、ジョイスの予想（次元1の分岐集合を持つピecewise smoothラグランジュファイブレーション）が3トーラスファイブレーションの設定において正当化される。