[論文レビュー] Lagrangian constant cycle subvarieties in Lagrangian fibrations

Hsueh-Yung Lin|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、滑らかなラグランジュ的ファイバー上で非常に ample な制限を持つ除釈類 $ H $ を用いて、ラグランジュ的ファイブレーションを備えたハイパーケーラー多様体にラグランジュ的定数サイクル部分多様体を構成する。主な結果として、$ \dim X = 4 $ の場合、そのような部分多様体に支持されるゼロサイクル類が $ H $ やファイブレーションに依存せず、$ \mathrm{CH}_0(X) $ 内でスカラー倍の違いを除いて不変であることが示され、ベアヴィル＝ヴォジン類の自然な一般化としての canonical なゼロサイクルが得られる。

ABSTRACT

We show that the image of a dominant meromorphic map from an irreducible compact Calabi-Yau manifold $X$ whose general fiber is of dimension strictly between $0$ and $\dim X$ is rationally connected. Using this result, we construct for any hyper-Kähler manifold $X$ admitting a Lagrangian fibration a Lagrangian constant cycle subvariety $Σ_H$ in $X$ which depends on a divisor class $H$ whose restriction to some smooth Lagrangian fiber is ample. If $\dim X = 4$, we also show that up to a scalar multiple, the class of a zero-cycle supported on $Σ_H$ in $\mathrm{CH}_0(X)$ depend neither on $H$ nor on the Lagrangian fibration (provided $b_2(X) \ge 8$).

研究の動機と目的

• K3 表面におけるベアヴィル＝ヴォジンの canonical なゼロサイクルを、高次元のハイパーケーラー多様体へ一般化すること。
• ハイパーケーラー多様体 $ X $ にラグランジュ的ファイブレーションを備える場合、除釈類 $ H $ に依存するラグランジュ的定数サイクル部分多様体 $ \Sigma_{H} \subset X $ を構成すること。
• $ \dim X = 4 $ の場合、$ b_2(X) \geq 8 $ ならば、$ \Sigma_H $ に支持されるゼロサイクル類が $ H $ やファイブレーションに依存せず（スカラー倍の違いを除いて）不変であることを示すこと。
• このような部分多様体の存在を通じて、$ \mathrm{CH}_0(X) $ における予想的なブロッハ＝ベイリンソン分割フィルトレーションを支持すること。

提案手法

• カーラビ＝ヤウ多様体から基底へと支配的でメロモルフィックな写像を用いて、基底の有理的連結性を示し、これにより構成を裏付ける。
• ギジン写像を適用して $ \mathrm{CH}_0(\Sigma_H) $ を $ \mathrm{CH}_0(X) $ と関連づけ、$ \Sigma_H $ 上のすべての点が $ X $ 内で有理同値であることを示す。
• ロイトマンの定理により $ \mathrm{CH}_0(X) $ が torsion-free であることを利用し、サイクルの有理数倍を曖昧さなく定義する。
• 松下の予想と [23, Theorem 0.8] を用いて、コhomology の消える性質を $ \mathrm{CH}_0(X) $ 内の有理同値性へと持ち上げる。
• 滑らかなファイバー $ F $ に対して、制限写像 $ j^*: H^2(X,\mathbb{Q}) \to H^2(F,\mathbb{Q}) $ のランク1性質を用い、$ H|_F $ またはその負が ample であることを導く。
• ベアヴィル＝ボゴモロフ形式の非退化性を用い、$ L^2 \cdot H^2 $ がゼロでなく、$ \Sigma_H $ 上の点の類に比例することを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元のハイパーケーラー多様体において、ラグランジュ的定数サイクル部分多様体を用いて canonical なゼロサイクルを構成できるか？
• RQ2 $ \dim X = 4 $ の場合、そのような部分多様体に支持されるゼロサイクル類は、除釈類 $ H $ やファイブレーションの選択に依存するか？
• RQ3 $ b_2(X) \geq 8 $ のとき、ラグランジュ的定数サイクル部分多様体上の点の類はファイブレーション構造に依存しないか？
• RQ4 このような部分多様体の存在が、$ \mathrm{CH}_0(X) $ におけるブロッハ＝ベイリンソン分割予想を支持できるか？
• RQ5 $ H^n \cdot [F] $ のコhomology 的および代数的サイクル理論的性質は、$ \mathrm{CH}_0(X) $ 内でどのように振る舞うか？

主な発見

• 任意のラグランジュ的ファイブレーション $ \pi: X \to B $ を持つハイパーケーラー多様体 $ X $ と、滑らかなファイバー $ F $ 上で ample な制限を持つ除釈類 $ H \in \mathrm{Pic}(X) $ に対して、基底 $ B $ を支配するラグランジュ的定数サイクル部分多様体 $ \Sigma_{\pi,H} \subset X $ が存在する。
• $ \Sigma_{\pi,H} $ 上のすべての点は $ X $ 内で有理同値であり、その $ \mathrm{CH}_0(X) $ 内の類は $ \frac{1}{\deg(H^n \cdot [F])} \cdot H^n \cdot [F] $ に等しい。
• $ \dim X = 4 $ の場合、$ b_2(X) \geq 8 $ ならば、$ \Sigma_H $ に支持されるゼロサイクル類は $ H $ やファイブレーションに依存せず（スカラー倍の違いを除いて）不変である。
• $ \Sigma_{\pi,H} $ 上の点の類は $ \mathrm{CH}_0(X) $ 内で $ H^2 \cdot L^2 $ に比例する。ここで $ L $ は基底からの ample な類の引き戻しである。
• 2つの異なるファイブレーション $ \pi, \pi' $ に対して、それらに対応する $ \Sigma_H $ 上のゼロサイクル類は $ L^2 \cdot L'^2 $ に比例し、これは非ゼロである。
• この構成により、ヴォジンの予想 1.2（$ i = n $ の場合）が確認され、次元 $ n $ のラグランジュ的定数サイクル部分多様体の存在が実現された。