[論文レビュー] Lagrangian Controllability of the 1-D Korteweg-de Vries Equation

Ludovick Gagnon|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、N-ソリトン解を用いて1次元Korteweg-de Vries（KdV）方程式の小時間ラグランジュ的可制御性を確立する。滑らかで局所的な解を、急激に増加するソリトン振幅を持つように構成することで、t=0およびt=Tで静止している解に対しても、初期に[0,L]にあった粒子が任意の時間T>0のうちに完全にLの右側へ駆り出されることを示している。

ABSTRACT

We consider in this paper the problem of the Lagrangian controllability for the Korteweg-de Vries equation. Using the $N$-solitons solution, we prove that, for any length of the spatial domain $L>0$ and any time $T>0$, it is possible to choose appropriate boundary controls of KdV equation such that the flow associated to this solution exit the domain in time $T$.

研究の動機と目的

• 境界制御を用いた1次元Korteweg-de Vries（KdV）方程式の小時間ラグランジュ的可制御性を確立すること。
• 初期に[0,L]に存在する粒子が、任意の時間T>0のうちに完全にLの右側へ輸送可能であることを示すこと。
• 制御終了時t=Tでも解が静止しており、制御後に残余運動がないことを保証する解を構成すること。
• N-ソリトン解の漸近的挙動を用いて、ソリトンの相互作用と速度を介して粒子輸送を達成すること。
• t=0およびt=T近傍で解のH^2ノルムが小さく保たれ、可制御性を満たす正則性および小正則性条件を満たすこと。

提案手法

• 振幅α_kおよび速度α_k²を持つ移動波としてのN-ソリトン解の形でKdV方程式の解を構成する。
• 変数変換x ↦ x−t、y ↦ 6ηを用いてKdV方程式をη_t + 6ηη_x + η_xxx = 0に変形し、ソリトン解析を簡略化する。
• 個々の波パケットを表すソリトン解η(x,t) = (α²/2) sech²( (−α(x−s) + α³t)/2 )を用い、既知の速度および振幅を持つ。
• 増加する振幅と精密に調整された位置を持つソリトンを配置し、それらの合成された流れが[0,L]内のすべての粒子をx=Lの右側へ押し出すようにする。
• 重ね合わせ効果が消えることを示すために、ソリトン相互作用項（例：f_k(ξ_k^−,t)f_{k−1}^{−1}(ξ_k^+,t)）の漸近的推定を適用し、α_1 → ∞のときの消失を示す。
• 解から導かれるGを用いた流れ方程式∂Φ/∂t = G(Φ(x,t),t)を用いて粒子軌道を推定し、Φ(x,T) ≥ Lを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の領域長L>0に対して、KdV方程式は任意の小さい時間T>0でラグランジュ的可制御可能か？
• RQ2 境界制御とソリトンに基づく解を用いて、初期に[0,L]に存在するすべての粒子をLの右側へ駆り出せるか？
• RQ3 解をt=0およびt=Tで静止させるように構成可能か？これにより制御後の残余運動がなくなるか？
• RQ4 境界制御下でのKdV流れにおいて、ソリトンの相互作用は粒子の総輸送にどのように影響するか？
• RQ5 ソリトンの振幅および位置にどのような条件を課えると、有限時間内に粒子をLを超えて押し出せる十分な流れ速度が得られるか？

主な発見

• 任意のT,L>0に対して、境界制御を伴うKdV方程式の解y∈C([0,T];H²(0,L))が存在し、対応する流れΦがすべてのx∈[0,L]に対してΦ(x,T)≥Lを満たす。
• 増加する振幅α_kを持つN-ソリトン解を明示的に構成し、N ≈ 4Lα₁² / ln(√(2α₁)(1+√(1−1/(2α₁))))を満たすことで、十分な粒子輸送が保証される。
• 流れ速度∂Φ/∂tは、各ソリトン領域の特性関数を用いた∑ₖ (αₖ/16)で下から有界であり、全体として右方向への移動が保証される。
• すべてのx∈[0,L]に対して∂Φ/∂t(x,0)=0および∂Φ/∂t(x,T)=0を満たし、解が初期および最終時刻で静止していることが確認される。
• H²ノルムが(0,ε₁)∪(T−ε₂,T)でδ未満であるため、t=0およびt=T近傍での小正則性条件を満たす。
• α₁→∞のとき、ソリトン間の相互作用項が消えるため、ソリトンの伝播が支配的となり、Lを超える信頼性の高い粒子輸送が可能になる。