[論文レビュー] Lagrangian dynamics of thermal tracer particles in Navier-Stokes fluids

Massimo Tessarotto, Claudio Cremaschini+1 more|ArXiv.org|Jun 5, 2009

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、『熱的トレーサー粒子』と呼ばれる特殊な理想トレーサー粒子のクラスを用いて、非圧縮性ナビエ-ストークス流体の位相空間ラグランジュ力学を提案する。これらの粒子の相対速度は、力学的圧力にのみ依存する。この粒子の統計集合を、ランダムな同一平面上の単位ベクトルでモデル化することで、1点統計を用いて流体場（速度および圧力）を一意に再構成可能となり、逆運動論的理論における不確定性が解消される。

ABSTRACT

A key issue in fluid dynamics is the definition of the phase-space Lagrangian dynamics characterizing prescribed ideal fluids (i.e., continua), which is related to the dynamics of so-called extit{ideal tracer particles} moving in the same fluids. These are by definition particles of infinitesimal size which do not produce significant perturbations of the fluid fields and do not interact among themselves. In this work we point out that the phase-space Lagrangian description of incompressible Navier-Stokes fluids can be achieved by means of a particular subset of ideal tracer particles, denoted as thermal particles. For these particles the magnitude of their relative velocities - with respect to the local fluid velocity - is solely determined by the kinetic pressure, in turn, uniquely related to the fluid pressure. The dynamics of thermal tracer particles is shown to generate the time-evolution of the fluid fields by means of a suitable statistical model. The result is reached introducing a 1-D statistical description of the fluid exclusively based on the ensemble of thermal tracer particles. In particular, it is proven that the statistic of thermal particles can be uniquely defined requiring that for these particles the directions of their initial relative velocities are defined by a suitable family of random coplanar unit vectors.

研究の動機と目的

• 古典的統計力学に基づいて、非圧縮性ナビエ-ストークス流体の位相空間ラグランジュ記述を確立すること。
• 逆運動論的理論（IKT）における不確定性を、流体場を一意に決定する一意なトレーサー粒子の部分集合を同定することによって解消すること。
• 初期相対速度方向がランダムな同一平面上の単位ベクトル族に従う熱的トレーサー粒子の統計モデルを定義すること。
• 時間発展する流体場（速度および圧力）が、これらの熱的トレーサー粒子の1点確率密度関数から一意に再構成可能であることを示すこと。
• 熱的トレーサー粒子に作用する平均場力が、流体の力学的圧力によって一意に決定され、非圧縮性ナビエ-ストークス方程式と整合することを示すこと。

提案手法

• 流体の力学的圧力にのみ依存する相対速度の大きさを持つ、特殊な理想トレーサー粒子のクラス『熱的トレーサー粒子』を導入する。
• 熱的トレーサー粒子の初期相対速度方向を、統計的等方性および流体圧力と整合するように、ランダムな同一平面上の単位ベクトル族によって定義する。
• 1次元統計モデルを用いて、熱的トレーサー粒子の位相空間力学を導出する。このモデルでは、その軌道が圧力に依存する平均場力を持つ修正ニュートン方程式に従う。
• 熱的トレーサー粒子集合の1点確率密度関数（PDF）を用いて、空間および時間の任意の点における流体速度場および圧力場を再構成する。
• 流体速度および圧力が、同じ空間的点に到着する2つの熱的トレーサー粒子の平均および相対速度によって一意に決定されることを確立する。これは、速度方向が反平行でない場合でも成立する。
• 流体場に初期および境界条件を課し、熱的トレーサー粒子の統計モデルがそれらの条件を一貫して再現することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 流体場を一意に再構成できるような、理想トレーサー粒子の特定の部分集合を定義可能か？
• RQ2 一般に存在する任意のスカラー定数を含む平均場力に起因する逆運動論的理論における不確定性を、物理的に整合性のある粒子部分集合を用いてどのように解消できるか？
• RQ3 熱的トレーサー粒子が満たすべき統計的性質は何か？ これにより、1点PDFが流体の速度および圧力場を正確に再現可能となる。
• RQ4 2つの熱的トレーサー粒子が一点に到着する際の相対速度のみから、流体の圧力場を再構成可能か？ ただし、速度ベクトルが反平行でない場合を含む。
• RQ5 熱的トレーサー粒子の初期相対速度方向が同一平面上にあるという仮定が、流体の一貫性と一意性を持つ位相空間記述をどのように導くか？

主な発見

• 任意の点 (r,t) における流体速度場は、その点に到着する2つの熱的トレーサー粒子の速度の平均として一意に再構成可能であり、それらの相対速度方向に依存しない。
• 熱的速度 v_th(r,t) は、2つの熱的トレーサー粒子間の相対速度の大きさおよびそれらの単位速度ベクトルの差のノルムによって一意に決定され、反平行でない場合でも成立する。
• 流体圧力 p(r,t) は、力学的圧力項 2p₁(r,t)/ρ₀ によって一意に決定され、この項は v_th(r,t) = √(2p₁(r,t)/ρ₀) を通じて熱的速度 v_th(r,t) と直接関連している。
• 初期相対速度方向がランダムな同一平面上の単位ベクトル族に基づく熱的トレーサー粒子の統計モデルは、任意のパrameterを導入せず、集合の1点PDFが完全な流体場を再現することを保証する。
• 本手法は、一般のIKTに存在する任意のスカラー定数とは無関係に、圧力に依存する熱的速度に基づいて平均場力の一意な固定を実現することで、逆運動論的理論における不確定性を解消する。
• ナビエ-ストークス流体場の時間発展は、熱的トレーサー粒子の力学によって一貫して再現され、非圧縮性条件 ∇·V = 0 および初期および境界条件が指定されたナビエ-ストークス方程式 N·V = 0 を満たす。