[論文レビュー] Lagrangian fibration in duality on moduli space of rank two logarithmic connections over the projective line

Frank Loray, Masa-Hiko Saito|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、固定されたスペクトルデータをもつ射影直線からn個の点を除いた上でランク2の対数接続のモジュライ空間を研究し、2つの自然なラグランジュ被覆（顕著な特異点への写像とパラボリックバンドルのモジュライへの写像）が横断的かつ双対的であることを示している。n=5の場合、幾何構造は4次デル・ペッツォ表面のものに一致する。

ABSTRACT

We study the moduli space of logarithmic connections of rank 2 on the Riemann sphere minus n points with fixed spectral data. There are two natural Lagrangian maps: one towards apparent singularities of the associated fuchsian scalar equation, and another one towards moduli of parabolic bundles. We show that these are transversal and dual to each other. In case n=5, we recover the beautiful geometry of Del Pezzo surfaces of degree 4.

研究の動機と目的

• P^1からn個の点を除いた上で、固定されたスペクトルデータをもつランク2の対数接続のモジュライ空間を解析すること。
• このモジュライ空間上に自然に定義される2つのラグランジュ被覆を調査すること：1つは関連するフックス型微分方程式の顕著な特異点へ写像するもので、もう1つは関連するパラボリックバンドル構造のモジュライ点へ写像するものである。
• これらの2つの被覆の横断性と双対性を確立すること。
• n=5の場合の幾何的帰結を検討すること、特に4次デル・ペッツォ表面の出現を明らかにすること。

提案手法

• P^1にn個のマークド点をもつランク2の対数接続のモジュライ空間を構成し、固定されたスペクトルデータをもたせる。
• 各接続を関連するフックス型スカラー微分方程式の顕著な特異点の集合へ写像することにより、最初のラグランジュ被覆を定義する。
• 各接続を関連するパラボリックバンドル構造のモジュライ点へ写像することにより、2番目のラグランジュ被覆を定義する。
• 2つの被覆が横断的であることを証明する。これは、各点でそのファイバーが横断的に交わることを意味する。
• これらの被覆が、シンプレクティック幾何におけるラグランジュ双対の意味で双対的であることを確立する。
• n=5の場合を用いて、モジュライ空間の全空間が双対構造を通じて4次デル・ペッツォ表面の幾何を実現することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク2の対数接続のモジュライ空間上に自然に定義される2つの被覆は、幾何的にどのように関係しているか？
• RQ2 これらの被覆は横断的か？そしてこれはモジュライ空間のシンプレクティック構造にどのような意味を持つのか？
• RQ3 これらの被覆の双対性は、既知の代数的曲面の観点から解釈可能か？
• RQ4 マークド点の数がn=5のとき、モジュライ空間にどのような幾何的構造が現れるか？
• RQ5 スペクトルデータは、ラグランジュ被覆の文脈において、モジュライ空間の幾何にどのように制約を加えるか？

主な発見

• 顕著な特異点への写像とパラボリックバンドルモジュライへの写像という2つのラグランジュ被覆は、互いに横断的である。
• これらの被覆は、シンプレクティック双対性の意味で双対的であり、ラグランジュ的意味で双対なペアを形成する。
• n=5の場合、モジュライ空間は4次デル・ペッツォ表面の幾何を実現する。
• 双対構造により、古典的な4次デル・ペッツォ表面の幾何にシンプレクティック的幾何的解釈が与えられる。
• 固定されたスペクトルデータにより、モジュライ空間が滑らかな複素シンプレクティック多様体であり、2つの横断的ラグランジュ被覆をもつことが保証される。
• この構成により、対数接続のモジュライを用いた4次デル・ペッツォ表面の新たな幾何的実現が得られる。