[論文レビュー] Lagrangian fibrations on generalized Kummer varieties

Martin G. Gulbrandsen|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ピカール数が1の principally polarized abelian surface $A$ に関連する一般化された Kummer 多様体 $K^nA$ が、$mathbb{P}^{n-1}$ 上に有理的ラグランジュ的ファイブレーションをもつための必要十分条件として、$n$ が完全平方であることであることを確立している。このファイブレーションは、ランク1で次数0の層上のフーリエ＝ムカイ変換を通じて生じ、その存在は、ベーリューヴ＝ボゴモロフ形式が消えるような除数の存在と同値であり、これは $n$ が完全平方であるときにのみ成立する。

ABSTRACT

We investigate the existence of Lagrangian fibrations on the generalized Kummer varieties of Beauville. For a principally polarized abelian surface A of Picard number one we find the following: The Kummer variety K^n(A) is birationally equivalent to another irreducible symplectic variety admitting a Lagrangian fibration, if and only if n is a perfect square. And this is the case if and only if K^n(A) carries a divisor with vanishing Beauville-Bogomolov square.

研究の動機と目的

• ピカール数が1の principally polarized abelian surface $A$ に関連する一般化された Kummer 多様体 $K^nA$ が、$mathbb{P}^{n-1}$ 上に有理的ラグランジュ的ファイブレーションをもつ条件を特定すること。
• このようなファイブレーションの存在と $K^nA$ 上の除数のベーリューヴ＝ボゴモロフ形式との関係を調査すること。
• ファイブレーションが存在するための明確な条件、すなわち $n$ が完全平方であることの確立。
• $A$ 及びその双対 $mathbb{A}^\widehat{A}$ 上の層のモジュライ空間を用いた、フーリエ＝ムカイ変換によるファイブレーションの幾何的構成。

提案手法

• ランク1で第一チャーン類 $[C]$ をもつ $A$ 上の層に対してフーリエ＝ムカイ変換を用い、$C$ が genus $n+1$ の曲線であることを仮定して、有理的ファイブレーション $f: K^nA \dashrightarrow |\widehat{C}| \cong \mathbb{P}^{n-1}$ を構成する。
• 基底変換定理と弱インデックス定理を用い、$A$ 上の層 $\mathcal{E}$ のフーリエ＝ムカイ変換が、$\widehat{A}$ 上にコホロロジー的性質が明確に定義された層 $\widehat{\mathcal{E}}$ を与えることを保証する。
• 各層に対してそのフィッティングイデアルを割り当てる写像 $F: M_{\widehat{A}}(0,[\widehat{C}],-1) \to P = \mathbb{P}(\widehat{\mathcal{O}_A(C)}^\vee)$ を定義し、これにより $|\widehat{C}|$ 上の曲線が定義され、Kummer 多様体上のファイブレーションが誘導される。
• ファイブレーションが正則であり、一般ファイバーが $|\widehat{C}|$ に属する非特異曲線 $D$ のヤコビアン $J^{n-1}(D)$ と同一視できることを示し、これは $\widehat{A}$ への和写像を通じて埋め込まれる。
• 除数 $D = rH + s\epsilon$ のベーリューヴ＝ボゴモロフ形式 $q(D) = 2r^2 - 2s^2n = 0$ を用いて、$q(D)$ が0であるのは $n = m^2$ のときに限ることを証明する。
• フーリエ＝ムカイ変換を用いて $K^nA$ と他の非特異シンプレクティック多様体との間に双有理同倣を確立し、その同倣がファイブレーション構造を保存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ピカール数が1の principally polarized abelian surface $A$ に関連する一般化された Kummer 多様体 $K^nA$ が、$mathbb{P}^{n-1}$ 上に有理的ラグランジュ的ファイブレーションをもつ条件は何か？
• RQ2 除数のベーリューヴ＝ボゴモロフ形式の平方が0となることと、$n$ の算術的性質との間の明確な関係は何か？
• RQ3 モジュライ空間とフーリエ＝ムカイ変換を用いた幾何的構成によって、$K^nA$ 上のファイブレーション構造を構成できるか？
• RQ4 このようなファイブレーションの存在が、このような $A$ に対して $n$ が完全平方であることと同値であるか？
• RQ5 フーリエ＝ムカイ変換によって誘導される双有理同倣は、同型に拡張されるか、それともムカイ基本変換であるか？

主な発見

• 一般化された Kummer 多様体 $K^nA$ は、$mathbb{P}^{n-1}$ 上に有理的ラグランジュ的ファイブレーションをもつための必要十分条件として、$n$ が完全平方であることである。
• ファイブレーションは、$A$ 上のランク1で次数0の層に対するフーリエ＝ムカイ変換を通じて構成され、双対曲線類 $\widehat{C}$ がファイブレーションの基底を定義する。
• $K^nA$ 上の除数 $D$ がベーリューヴ＝ボゴモロフ形式をもたないことは、$n$ が完全平方であることと同値である。
• $n = m^2$ のとき、曲線 $C = mH \subset A$ は genus $n+1$ をもち、定理1.3の条件を満たし、ファイブレーションの構成を可能にする。
• $K^nA$ 上の除数 $D = rH + s\epsilon$ のベーリューヴ＝ボゴモロフ形式が0になるのは、$2r^2 = 2s^2n$ が成り立つときであり、これは $n = (r/s)^2$ を意味するので、$n$ は完全平方でなければならない。
• $K^nA$ とモジュライ空間 $M_{\widehat{A}}(0,[\widehat{C}],-1)$ 間の双有理同倣は、ある稠密な開部分集合上で同型であり、ファイブレーションは Kummer 多様体上で正則なファイブレーションに制限される。