[論文レビュー] Lagrangian field theories on Lie groupoids

Joris Vankerschaver, F. Cantrijn|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、リー群ガロアを目的空間として用いる離散古典場理論の幾何的枠組みを導入し、変分原理を用いて場の運動方程式を定式化し、その多重シンプレクティック構造を証明する。このアプローチは、既知の離散多重シンプレクティック理論を一般化し、離散リー＝ポワンスィエ方程式や離散還元理論といった新たな結果をもたらす。また、離散微分幾何や格子ゲージ理論と関連している。

ABSTRACT

We present a geometric framework for discrete classical field theories, where fields are modeled as “morphisms ” defined on a discrete grid in the base space, and take values in a Lie groupoid. We describe the basic geometric setup and derive the field equations from a variational principle. We also show that the solutions of these equations are multisymplectic in the sense of Bridges and Marsden. The groupoid framework employed here allows us to recover not only some previously known results on discrete multisymplectic field theories, but also to derive a number of new results, most notably a notion of discrete Lie-Poisson equations and discrete reduction. In a final section, we establish the connection with discrete differential geometry and gauge theories on a lattice. 1

研究の動機と目的

• リー群ガロアを場の値空間として用いる離散古典場理論の幾何的枠組みを構築すること。
• この離散幾何的設定において、変分原理から場の運動方程式を導出すること。
• 解の多重シンプレクティック性を確立し、ブリッジズ＝マーズデンの枠組みを一般化すること。
• 既知の離散多重シンプレクティック場理論の結果を拡張するために、離散リー＝ポワンスィエ方程式を導入すること。
• 離散微分幾何および格子ゲージ理論との関係を調査すること。

提案手法

• 場を離散基底空間グリッドからリー群ガロアへのモーフィズムとしてモデル化し、場の配置の幾何的記述を可能にする。
• 群ガロア値の場に対して、離散変分原理を用いて作用関数を定式化する。
• 作用の臨界点として離散場の運動方程式を導出し、群ガロア構造と整合性を保証する。
• 解がブリッジズとマーズデンの意味で離散多重シンプレクティック保存則を満たすことを証明する。
• 群ガロア枠組み内の対称性を活用して、離散還元手順を構築する。
• 幾何的整合性を通じて、この枠組みと離散微分幾何および格子ゲージ理論との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー群ガロアを目的空間として用いることで、どのように離散古典場理論を定式化できるか？
• RQ2 この群ガロア設定において、整合的な場の運動方程式を生成する離散変分原理は何か？
• RQ3 これらの場の運動方程式の解は、離散多重シンプレクティック構造を満たすか？
• RQ4 この枠組みから離散リー＝ポワンスィエ方程式を導出できるか？
• RQ5 この枠組みは、離散微分幾何および格子ゲージ理論とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿では、リー群ガロア上の離散場理論の変分的定式化を確立し、作用関数の臨界点から整合性のある場の運動方程式を導出する。
• 場の運動方程式の解が、ブリッジズとマーズデンの意味で多重シンプレクティックであることが示され、連続的な多重シンプレクティック構造を離散的状況に一般化する。
• 新しいクラスの離散リー＝ポワンスィエ方程式が導出され、離散的かつ群ガロアに基づく文脈に、ポワンスィエ還元を拡張する。
• 対称性還元を可能にする離散還元手順が構築され、場理論における連続的還元に類似した枠組みを提供する。
• 離散微分幾何および格子ゲージ理論との接続が確立され、数値的および格子場理論への広範な応用可能性を示唆する。
• このアプローチは、既知の離散多重シンプレクティック場理論の結果を統合・一般化し、より包括的な幾何的基盤を提供する。