[論文レビュー] Lagrangian Floer theory and mirror symmetry on compact toric manifolds

Kenji Fukaya, Yong‐Geun Oh+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2010

Geometric and Algebraic Topology被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、コンパクトなトーリック多様体の量子コhomologyと、バッチ変形を用いたラグランジュ・フロアー理論によって構成されたランダウ＝ジンブルグのポテンシャル関数のヤコビ環の間のミラー対称性の同型を確立する。オープンクローズド・グロモフ＝ウィッテン不変量とクルアシの構造を用いて、量子コhomologyからヤコビ環へのコイダラ＝スペンサーマップが環同型であることを証明し、コhomology上のポアンカーレ双対性がヤコビ環上の残差ペアリングに対応することを示す。これにより、トーリック多様体における完全な量子補正付きミラー対称性が実現される。

ABSTRACT

In this paper we study Lagrangian Floer theory on toric manifolds from the point of view of mirror symmetry. We construct a natural isomorphism between the Frobenius manifold structures of the (big) quantum cohomology of the toric manifold and of Saito's theory of singularities of the potential function constructed in \cite{fooo09} via the Floer cohomology deformed by ambient cycles. Our proof of the isomorphism involves the open-closed Gromov-Witten theory of one-loop.

研究の動機と目的

• ラグランジュ・フロアー理論を用いて、コンパクトなトーリック多様体に対するホモロジカルミラー対称性の明確な数学的実現を達成する。
• トーリック多様体のビッグ量子コhomologyのフォーベニウス多様体構造と、ポテンシャル関数の特異点論における斎藤理論との間の標準的同型を構成する。
• バッチ変形されたポテンシャル関数 $ P_O^b $ のヤコビ環への量子コhomologyからのコイダラ＝スペンサーマップが環同型であることを証明する。
• 量子コhomology上のポアンカーレ双対性ペアリングが、ヤコビ環上の残差ペアリングに対応することを示す。
• オープンクローズド・グロモフ＝ウィッテン不変量とミラー対称性における量子補正の間の対応関係を、厳密な基礎づけを行う。

提案手法

• バッチ変形 $ b \in H^*(X; \Lambda_0) $ を用いて、ノヴィコフ環上のローレンツ多項式環の完備化に値をとるポテンシャル関数 $ P_O^b $ を構成する。
• バッチ変形 $ b $ に関するポテンシャルの微分を用いて、$ \mathrm{ks}_b: H^*(X; \Lambda_0) \to \mathrm{Jac}(P_O^b) $ を定義し、これが適切に定義された環準同型であることを証明する。
• クルアシの構造とマルチセクション理論を用いて、擬補間的円環のモジュライ空間を定義・解析し、オープンクローズド不変量を計算する上で中心的な役割を果たす。
• コイダラ＝スペンサーマップを介して、$ H^*(X; \Lambda_0) $ 上の量子カップ積 $ \cup_b $ とヤコビ環内の乗法の間の同型を確立する。
• 循環的対称性とヘッセ行列式の恒等式を用いて、$ H^*(X; \Lambda) $ 上のポアンカーレ双対性ペアリングと、$ \mathrm{Jac}(P_O^b) \otimes_{\Lambda_0} \Lambda $ 上の残差ペアリングの対応を証明する。
• シーゼル準同型とMcDuff–Tolmanの結果を用いて、シンプレクティックおよび量子変形の下での写像の振る舞いを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バッチ変形されたポテンシャル関数 $ P_O^b $ のヤコビ環への、量子コhomologyからのコイダラ＝スペンサーマップは、量子コhomologyのフォーベニウス多様体構造とどのように関係しているか？
• RQ2 擬補間的円環に関連するオープンクローズド・グロモフ＝ウィッテン不変量を用いて、コンパクトなトーリック多様体上のAモデルとBモデルの間の完全なミラー対称性同型を証明できるか？
• RQ3 コイダラ＝スペンサーマップの下で、ヤコビ環 $ \mathrm{Jac}(P_O^b) $ 上の残差ペアリングは、量子コhomology $ QH^*(X; \Lambda_0) $ 上のポアンカーレ双対性ペアリングと一致するか？
• RQ4 ポテンシャル関数 $ P_O^b $ は特異点論における「普遍的」変形の意味で普遍的であるか？そして、これは量子コhomologyの環構造がヤコビ環によって完全に記述されることを示唆するか？
• RQ5 フクヤカテゴリの枠組みにおいて、量子コhomologyとヤコビ環の間の同型を、完全なカテゴリカル同値性に拡張できるか？

主な発見

• コイダラ＝スペンサーマップ $ \mathrm{ks}_b: H^*(X; \Lambda_0) \to \mathrm{Jac}(P_O^b) $ は適切に定義された環同型であり、量子カップ積とヤコビ環乗法の間の直接的な対応関係を確立する。
• $ H^*(X; \Lambda) $ 上のポアンカーレ双対性ペアリングは、$ \mathrm{Jac}(P_O^b) \otimes_{\Lambda_0} \Lambda $ 上の残差ペアリングと同型であることが確認され、ペアリングレベルでのミラー対称性双対性が裏付けられる。
• ポテンシャル関数 $ P_O^b $ は特異点論の意味で普遍的である。これは、その変形空間が特異点のすべての一次変形を捕捉できることを意味する。
• 1ループ構成（円環）に関するオープンクローズド・グロモフ＝ウィッテン不変量が、主要な写像とペアリングの定義・計算に用いられ、同型の幾何的基盤を提供する。
• 量子コhomologyとヤコビ環の間の同型は、シーゼル要素の作用および量子積と整合的であり、擬補間的円環のモジュライ空間を通じて検証された。
• この構成は、一般のコンパクトなトーリック多様体（Fanoである必要はない）に対して有効であり、ノヴィコフ環上の完備化を用いることでビッグ量子コhomologyへ拡張可能である。