[論文レビュー] Lagrangian Floer theory on compact toric manifolds II : Bulk deformations

Kenji Fukaya, Yong‐Geun Oh+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、コンpactなトーリック多様体におけるラグランジュフローア理論を、環境サイクルからのコホロロジー類であるバッチ変形を導入することによって拡張する。これにより、非可動なラグランジュ部分多様体のファイバーが構成される。$k$-点の $\mathbb{C}P^2$ のブロー・アップ（$k \geq 2$）に対して、そのようなファイバーが連続体として存在し、ハミルトニアン同倫において各ファイバーが少なくとも4つの横断的交点を持つことが証明される。また、主要項方程式から導かれる多項方程式系の可解性に基づいて、すべてのバッチバランスラグランジュ部分多様体のファイバーを体系的に特定する手法が提供される。

ABSTRACT

This is a continuation of part I in the series of the papers on Lagrangian Floer theory on toric manifolds. Using the deformations of Floer cohomology by the ambient cycles, which we call bulk deformations, we find a continuum of non-displaceable Lagrangian fibers on some compact toric manifolds. We also provide a method of finding all fibers with non-vanishing Floer cohomology with bulk deformations in arbitrary compact toric manifolds, which we call bulk-balanced Lagrangian fibers.

研究の動機と目的

• 環境サイクルを用いたバッチ変形を統合することで、ラグランジュフローオムコホモロジーを拡張すること。
• コンパクトなトーリック多様体におけるラグランジュファイバーがハミルトニアン同倫において非可動のままである条件を特定すること。
• バッチ変形下での非自明なフローオムコホモロジーを持つすべてのラグランジュファイバーを特定する一般的手法を開発すること。
• 従来のフローオムコホモロジー計算で要請されていた非退化性条件をバッチ変形技術により排除すること。

提案手法

• 環境サイクルからのコホロロジー類 $\mathfrak{b} \in H^2(X; \Lambda_+)$ を用いてバッチ変形を導入し、ラグランジュ部分多様体のフローオムコホモロジーを変形する。
• バッチ変形を含むポテンシャル関数 $\mathfrak{PO}^u$ を定義し、その収束性と臨界点を分析する。
• ポテンシャル関数の主要項方程式を用いて、ラグランジュファイバーにおける非自明なフローオムコホモロジーの存在を決定する。
• ジャコビ環とオープン・クローズド・グロモフ＝ウィッテン不変量を用いて、バッチ変形されたフローオムコホモロジーの構造を研究する。
• 主要項方程式から導かれる多項方程式系の解法により、バッチバランスラグランジュファイバーの基準を構成する。
• 普遍ノビコフ環 $\Lambda_0$ 及びその最大イデアル $\Lambda_+$ を用いて変形フレームワークを形式化し、理論の収束性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなトーリック多様体におけるラグランジュファイバーに対して、バッチ変形が非自明なフローオムコホモロジーを保証する条件は何か？
• RQ2 主要項方程式の非退化性条件を要件としないで、ラグランジュファイバーの非可動性を確立することは可能か？
• RQ3 非可動なラグランジュファイバーのハミルトニアン像と自身との間の交点数の最小値は何か？
• RQ4 任意のコンパクトなトーリック多様体において、バッチ変形下での非自明なフローオムコホモロジーを持つすべてのラグランジュファイバーを体系的に特定する方法は何か？
• RQ5 主要項方程式は、バッチバランスラグランジュ部分多様体を特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• $k$-点の $\mathbb{C}P^2$ のブロー・アップ（$k \geq 2$）に対して、トーリックケーラー構造の下で、非可動なラグランジュファイバーが連続体として存在する。
• このような非可動ファイバーの各々は、任意の $L(u)$ に対して、$\psi(L(u)) \cap L(u)$ がハミルトニアン同倫 $\psi$ によって横断的に交わるとき、$\#(\psi(L(u)) \cap L(u)) \geq 4$ を満たす。
• $({\mathbb{C}}\setminus\{0\})^n$ 内で主要項方程式の解が存在することは、$H^2(X; \Lambda_+)$ 内のバッチ変形 $\mathfrak{b}$ および $H^1(L(u); \Lambda_0)$ 内のバインディングコチェーン $\mathfrak{x}$ が存在し、$HF((L(u), (\mathfrak{b}, \mathfrak{x})), (L(u), (\mathfrak{b}, \mathfrak{x})); \Lambda_0) \cong H(T^n; \Lambda_0)$ が成り立つことを示唆する。
• 本手法により、明示的に計算可能な多項方程式系の可解性に基づいて、すべてのバッチバランスラグランジュファイバーを特定できる。
• 定理1.3の逆が成り立つ：ラグランジュファイバーがバッチ変形下で非可動であるならば、その主要項方程式は $({\mathbb{C}}\setminus\{0\})^n$ 内に解を持つ。
• 本理論により、従来のフローオムコホモロジー計算で要請されていた非退化性仮定の必要性が排除され、[15]の先行結果が一般化される。