[論文レビュー] Lagrangian formalism for tensor fields

Sawa Manoff|ArXiv.org|Jul 21, 2000

Advanced Differential Geometry Research参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、異なる反変および共変アフィン接続と計量を備えた滑らかなかい離多様体（$(\overline{L}_n,g)$-空間と呼ばれる）上でのテンソル場の共変ラグランジュ形式主義を開発する。2つの手法——偏微分を用いるMLPDおよび共変微分を用いるMLCD——を導入し、関数的およびリー変分を用いて正準Euler-Lagrange方程式とエネルギー運動量テンソルを導出し、共変ネーター恒等式を確立する。主な貢献は、アフィン接続に依存しない完全に共変な場の理論フレームワークを提供することであり、ゲージ不変性を保証する。

ABSTRACT

The Lagrangian formalism for tensor fields over differentiable manifolds with contravariant and covariant affine connections (whose components differ not only by sign) and metrics [$(\bar{L}_n,g)$-spaces] is considered. The functional variation and the Lie variation of a Lagrangian density, depending on components of tensor fields (with finite rank) and their first and second covariant derivatives are established. A variation operator is determined and the corollaries of its commutation relations with the covariant and the Lie differential operators are found. The canonical (common) method of Lagrangians with partial derivatives (MLPD) and the method of Lagrangians with covariant derivatives (MLCD) are outlined. They differ from each other by the commutation relations the variation operator has to obey with the covariant and the Lie differential operator. The canonical and covariant Euler-Lagrange equations are found as well as their corresponding $(\bar{L}_n,g)$-spaces. The energy-momentum tensors are considered on the basis of the Lie variation and the covariant Noether identities.

研究の動機と目的

• （擬）リーマン空間を超える$(\overline{L}_n,g)$-空間へのテンソル場のラグランジュ形式主義の一般化。ここでは、反変および共変アフィン接続が異なる。
• 偏微分に基づく標準ラグランジュ場理論の限界を克服するため、共変微分を用いた完全に共変な手法（MLCD）を導入すること。
• アフィン接続の選択に依存せず、ゲージ変換に対して不変である一貫性のあるEuler-Lagrange方程式およびエネルギー運動量テンソルを導出すること。
• ラグランジュ密度のリー変分に基づく共変ネーター恒等式を確立し、幾何学的に整合的な方法で保存電流およびエネルギー運動量テンソルを導出すること。

提案手法

• 重み$q=1/2$のテンソル密度としてラグランジュ密度$\mathbf{L}$を定義し、テンソル場およびその第一および第二共変微分に依存する。
• ラグランジュ密度の関数的およびリー変分を定義し、リー微分および共変微分作用素と可換な変分作用素を導入する。
• 2つの異なる手法を提案する：偏微分を用いたラグランジュの正準法（MLPD）と、共変微分を用いたラグランジュの共変法（MLCD）。両者は微分作用素と可換性の関係で異なる。
• 作用の関数的変分を用いて正準Euler-Lagrange方程式を導出し、$(\overline{L}_n,g)$-空間上で有効であることを示す。
• エネルギー運動量テンソルをラグランジュ密度のリー変分から構成し、共変ネーター恒等式を導出する。
• 計量テンソル場$g_{ij}$に対する対称的および一般化された正準エネルギー運動量テンソルの明示的表現を導出し、曲率および torsion 項の寄与を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対称なアフィン接続と計量を備えた多様体上でのテンソル場の標準ラグランジュ形式主義を、どのように非対称アフィン接続を持つ多様体へ拡張できるか？
• RQ2 ラグランジュから場の方程式を導出する際、正準法（MLPD）と共変法（MLCD）の違いは何か？
• RQ3 $(\overline{L}_n,g)$-空間の文脈において、リー変分の下でEuler-Lagrange方程式およびエネルギー運動量テンソルはどのように変換されるか？
• RQ4 アフィン接続の選択に依存せず、ゲージ変換に対して不変な完全に共変な場の理論を構築できるか？
• RQ5 ラグランジュおよびその微分量で表される計量場のエネルギー運動量テンソルの明示的形は何か？

主な発見

• MLCD手法により、アフィン接続に依存しない場の方程式および保存量が得られ、ゲージ不変性および幾何学的整合性が保証される。
• 正準Euler-Lagrange方程式は、$(\overline{L}_n,g)$-空間上で反変および共変接続が異なる状況でも有効なラグランジュ密度の関数的変分から導出される。
• エネルギー運動量テンソルは、ラグランジュ密度のリー変分から構成され、曲率および torsion 項を含む共変ネーター恒等式を導く。
• 対称的ベルンファントエネルギー運動量テンソル$_{sg}T_i^j$および一般化された正準テンソル$_g\overline{\theta}_i^j$の明示的表現が導出され、ラグランジュの計量およびその共変微分に関する導関数を含む。
• Euler-Lagrange方程式に関連するエネルギー運動量テンソル$_g\overline{Q}_i^j$は、関数的微分$\delta_g L / \delta g_{\underline{j}k}$に比例し、曲率および torsion 項を含む補正項を有することが示された。
• 一般化された正準エネルギー運動量テンソル$_g\overline{\theta}_i^j$には、計量接続、曲率$R^l{}_{jik}$、および torsion $T_{ik}^l$ の寄与が含まれており、保存電流の幾何的依存性が明確に示された。