[論文レビュー] Lagrangian Perturbation Approach to the Formation of Large-scale Structure

Thomas Buchert|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 1995

Aquatic and Environmental Studies参考文献 1被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、流体要素の軌道を唯一の力学変数として用いることで、ニュートン流体力学を再定式化したラグランジュ的摂動法を、宇宙論における大規模構造形成のモデル化に提案する。この手法は、衝突面通過や階層的構造形成を含む非線形発展を捉えるが、衝突面通過後に質量等価性が破れるなど限界を示しており、崩壊以降の精度を維持するためには高周波モードのフィルタリングが必要であることを示している。

ABSTRACT

The present lecture notes address three columns on which the Lagrangian perturbation approach to cosmological dynamics is based: 1. the formulation of a Lagrangian theory of self--gravitating flows in which the dynamics is described in terms of a single field variable; 2. the procedure, how to obtain the dynamics of Eulerian fields from the Lagrangian picture, and 3. a precise definition of a Newtonian cosmology framework in which Lagrangian perturbation solutions can be studied. While the first is a discussion of the basic equations obtained by transforming the Eulerian evolution and field equations to the Lagrangian picture, the second exemplifies how the Lagrangian theory determines the evolution of Eulerian fields including kinematical variables like expansion, vorticity, as well as the shear and tidal tensors. The third column is based on a specification of initial and boundary conditions, and in particular on the identification of the average flow of an inhomogeneous cosmology with a ``Hubble--flow''. Here, we also look at the limits of the Lagrangian perturbation approach as inferred from comparisons with N--body simulations and illustrate some striking properties of the solutions.

研究の動機と目的

• 自己重力的宇宙流体のための厳密なラグランジュ的枠組みを確立し、流体要素の軌道を基本的な力学変数として扱う。
• ラグランジュ的軌道場から、エーランジアン場（速度、密度、せん断、渇乱）を導出し、観測やシミュレーションと直接比較可能にする。
• 平均流れがハッブル的膨張に対応するニュートン的宇宙論枠組みを定義し、宇宙論的原理と整合性を保つ。
• ラグランジュ的摂動法の理論的および実用的限界、特に衝突面通過やモードフィルタリングに関する限界を特定する。
• N体シミュレーションと比較し、初期の非線形発展における長所と、崩壊後のダイナミクスにおける短所を明らかにする。

提案手法

• 流体要素を初期位置 $\vec{X}$ でラベル付けし、その運動を軌道場 $\vec{f}(\vec{X}, t)$ で記述するラグランジュ座標系を用いて、ニュートン的宇宙論を定式化する。
• エーランジアン方程式（運動方程式、連続の方程式、ポアソン方程式）をラグランジュ形式に変換し、軌道に沿った速度場および密度場の正確な積分を可能にする。
• 軌道場の変形テンソルから、運動論的変数（膨張、せん断、渇乱、潮汐テンソル）を導出し、明示的な場の方程式を用いずに非線形発展を捉える。
• 解の一意性を保ち、均一な背景のハッブル流れを維持するため、周期的境界条件を適用する。
• 2次ラグランジュ的摂動理論を用いて、「2世代目」のパンケイク、フィラメント、クラスタなどの高次構造をモデル化する。
• 衝突面通過後に物理的に不適切な振る舞いを避けるため、初期パワースペクトルの高周波モードにカットオフを設け、有効な適用下限を約 $10^{13} M_\odot$ に設定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己重力的流体の力学を、単一の場変数としての軌道を用いたラグランジュ的枠組みにどのように再定式化できるか。
• RQ2 ラグランジュ的摂動理論は、初期順序を超えるエーランジアン場（速度、密度、せん断）の進化をどの程度正確に再現できるか。
• RQ3 特に衝突面通過後に、ラグランジュ的摂動法の物理的および数学的限界は何か。
• RQ4 なぜこの手法は、衝突面通過領域においてアインシュタインの慣性質量と重力質量の等価性を満たさないのか。
• RQ5 初期パワースペクトルの傾き（例：$n = -3$）は、非線形的崩壊の発生時刻およびラグランジュ近似の有効性にどのように影響するか。

主な発見

• 1次ラグランジュ的摂動解は、初期の特異速度と加速度が平行である場合に、正確にゼルドビッチ近似に還元される。
• ラグランジュ的軌道場へのエーランジアン場の非線形依存性により、1次解ですでに非線形項が内蔵されている。
• 衝突面通過は、標準ラグランジュ的スキームの有効性の時間的限界を示しており、すべての順序の変位が同程度の大きさに達するためである。
• 衝突面通過後の進化は、質量等価性の破れにより標準的定式化で不安定になる。個々の流体要素が自らの重力場によって加速されるのではなく、全場によって加速されるべきであるが、その条件が満たされない。
• 高周波モードのフィルタリングが必要となる。特に、標準的なCDMモデルでは、高周波モードのフィルタリングが物理的振る舞いを防ぐために不可欠である。スペクトル指数 $n = -3$ は、パンケイク的構造と階層的構造形成の間の臨界境界を表す。
• N体シミュレーション（例：BSIモデル）と比較すると、衝突面通過以前は良好な一致を示すが、その後は高周波成分を切り詰めない限り性能が劣化する。有効な適用下限は、銀河団質量スケール（$\sim 10^{13} M_\odot$）に対応する。