[論文レビュー] Lagrangian Probability Distributions of Turbulent Flows

R. Friedrich|ArXiv.org|Jul 3, 2002

Combustion and flame dynamics参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿はラグランジュ的枠組みを用いて完全に発達した乱流の統計理論を定式化し、N点同時速度・位置確率密度関数（pdf）のための閉じた階層的進化方程式を導出する。ホフプのものに類似した関数方程式を導入し、記憶項および初期条件項を含む一般化されたフォッカー・プランク方程式を導出する。ドリフト項および拡散係数は条件付き確率を用いて表現されており、システムは未閉じのままであるが、将来的な閉じ approximation の基盤を提供する。

ABSTRACT

We outline a statistical theory of turbulence based on the Lagrangian formulation of fluid motion. We derive a hierarchy of evolution equations for Lagrangian N-point probability distributions as well as a functional equation for a suitably defined probability functional which is the analog of Hopf's functional equation. Furthermore, we adress the derivation of a generalized Fokker-Plank equation for the joint velocity - position probability density of N fluid particles.

研究の動機と目的

• 完全に発達した乱流の統計的枠組みを、流体粒子のラグランジュ的運動に基づいて構築すること。
• ラグランジュ的記述におけるN点同時速度・位置確率分布のための閉じた階層的進化方程式を導出すること。
• 確率関数に対する関数方程式を定式化し、それがホフプの関数方程式のラグランジュ的類似物として機能すること。
• 粒子の運動が記憶効果を有する一般化された拡散過程としてモデル化可能かどうかを検討すること。
• ラグランジュ的pdfのための一般化されたフォッカー・プランク方程式を確立し、ドリフト項および拡散係数を条件付き確率の観点から特定すること。

提案手法

• ナビエ＝ストークス方程式をグリーン関数および圧力分解を用いて再定式化することで、N点ラグランジュ的確率分布のための進化方程式の階層を導出する。
• ホフプの関数方程式に類似した確率関数形式を導入し、システムの全統計的状態を包括的に表現する。
• モリのものに類似した射影的形式を適用し、記憶項および初期条件項を含む一般化されたフォッカー・プランク方程式を導出する。
• 一般化されたドリフト項および拡散係数を、高次統計の条件付き同時確率分布の積分として表現する。
• 条件付き確率 $ p^{N+2} $ を用いた形式的展開により、原理的には階層を閉じるが、高次項への依存性によりシステムは未閉じのままである。
• 適切な圧力項の取り扱いにより、基本的対称性（ガリレオ不変性、スケール不変性）および非圧縮性を保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N点同時速度・位置pdfを用いたラグランジュ的観点から、完全に発達した乱流の閉形式の統計的記述を導出可能か？
• RQ2 ラグランジュ的枠組みにおいて、ホフプの方程式に類似した関数方程式をどのように定式化できるか？ これは、乱流の全統計的状態を記述するものである。
• RQ3 乱流内のN個の流体粒子の運動を、記憶効果を有する一般化された拡散過程としてどの程度モデル化できるか？
• RQ4 一般化されたフォッカー・プランク方程式におけるドリフト項および拡散係数の構造と形式はどのようなものか？
• RQ5 条件付き確率の適切な閉じ approximation を用いることで、階層の未閉じ性はどのように扱えるか？

主な発見

• ラグランジュ的N点同時速度・位置確率分布のための進化方程式の階層が導出され、ルンドグレンとウリニッチのオイラー的定式化に類似している。
• 確率関数に対する関数方程式が定式化され、これはホフプの関数方程式のラグランジュ的類似物として機能し、乱流の包括的かつ簡潔な統計的記述を提供する。
• 記憶効果および初期条件項を含む一般化されたフォッカー・プランク方程式が導出され、N点pdfの時間発展をモデル化する。
• 一般化されたフォッカー・プランク方程式におけるドリフト項および拡散係数は、高次統計の条件付き同時確率分布の積分として形式的に表現されており、システムは未閉じのままである。
• 形式的定式化は、ガリレオ不変性およびスケール不変性（粘性がゼロの場合）といった重要な物理的対称性を保持しており、圧力項の適切な取り扱いにより非圧縮性も維持される。
• この枠組みは、将来的な閉じ approximation の厳密な基盤を提供し、条件付き確率分布 $ p^{N+2} $ がモデル化すべき重要な未知数として特定されている。