[論文レビュー] Lagrangian Reduction, the Euler--Poincaré Equations, and Semidirect Products

Hernán Cendra, Darryl D. Holm+2 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 1999

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ひとこと要約

本稿は、ハミルトニアンの半直積還元のラグランジュ的双対を構築し、流体や剛体といった対称性と輸送パラメータを有する系のための変分的枠組みを、Euler-Poincaré方程式を用いて確立する。ラグランジュ還元による還元運動方程式が、直接的なEuler-Poincaré定式化と同一の式を回復することを証明し、このような系における循環に関する一般化されたケルビン-ノエターの定理を導出する。

ABSTRACT

There is a well developed and useful theory of Hamiltonian reduction for semidirect products, which applies to examples such as the heavy top, compressible fluids and MHD, which are governed by Lie-Poisson type equations. In this paper we study the Lagrangian analogue of this process and link it with the general theory of Lagrangian reduction; that is the reduction of variational principles. These reduced variational principles are interesting in their own right since they involve constraints on the allowed variations, analogous to what one finds in the theory of nonholonomic systems with the Lagrange d'Alembert principle. In addition, the abstract theorems about circulation, what we call the Kelvin-Noether theorem, are given.

研究の動機と目的

• 半直積の対称性を有する系のための体系的なラグランジュ還元理論を構築し、Lie-Poisson系の既知のハミルトニアン還元を拡張すること。
• 対称性と輸送パラメータを有するリー代数上のEuler-Poincaré方程式のための変分原理を確立し、非ホロノミック力学におけるラグランジュ-ドアレムベルの原理に類似した枠組みを提供すること。
• 流体の渦度や磁束密度といった対称性と輸送量を有する系における循環の一般化されたケルビン-ノエターの定理を導出すること。
• ラグランジュ枠組みからの還元されたEuler-Lagrange方程式が、力と輸送パラメータを有する標準的なEuler-Poincaré方程式を再現することを示すこと。
• ラグランジュ力学における半直積還元の枠組みを通じて、流体および剛体力学の幾何学的・変分的構造を統一すること。

提案手法

• リー代数上の変分原理から導かれるEuler-Poincaré方程式を、Lie-Poissonハミルトニアン系のラグランジュ的双対として用いること。
• 半直積構造を持つ主 bundle の対称性還元を用いたラグランジュ還元の適用、特に簡略化のための自明な接続の使用。
• 輸送パラメータ $ a $ と $ v $ を含み、$ \langle a, \dot{v} + \xi v \rangle $ を介した結合を有する、バンドル $ Q \times V^* \times V \times \mathfrak{g} $ 上の還元ラグランジアン $ l^V $ の構成。
• 内在的および座標に基づく定式化を用いた還元されたEuler-Lagrange方程式の導出、動力学の水平成分と垂直成分の区別。
• 垂直方程式の運動を表すために随伴作用および余随伴作用 $ \mathrm{ad}^* $ の使用、Euler-Poincaré形式との整合性を保証すること。
• 垂直方程式の右辺が恒等的に消えることの確認により、還元系が元のEuler-Poincaré方程式（力と輸送パラメータを含む）を回復することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半直積の対称性を有するラグランジュ還元の文脈において、Euler-Poincaré方程式はどのように変分原理から導出可能か？
• RQ2 輸送パラメータ（例えば、流体の渦度、磁場）は還元ラグランジアンにどのように寄与し、動力学と結合されるか？
• RQ3 ラグランジュ還元枠組みは、力が作用する直接的なEuler-Poincaré定式化と同一の式をどのように再現するか？
• RQ4 このラグランジュ的設定におけるケルビン-ノエターの定理の幾何学的起源は何か？ そして、循環定理をどのように一般化するか？
• RQ5 接続の選択（例えば、自明な接続）は、還元方程式の構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• ラグランジアン $ l^V $ から導かれた還元されたEuler-Lagrange方程式は、力と輸送パラメータを有する標準的なEuler-Poincaré方程式を再現する。
• 還元系における $ q $, $ a $, および $ v $ の水平方程式は、元のEuler-Lagrange方程式と等価であり、輸送パラメータの正しい力学を導く。
• 垂直方程式 $ \xi $ は $ \frac{d}{dt}\frac{\partial l}{\partial\xi} - \mathrm{ad}^*_{\xi}\frac{\partial l}{\partial\xi} - \frac{\partial l}{\partial a} \diamond a = 0 $ に簡略化され、力が作用するEuler-Poincaré方程式と一致する。
• 余随伴作用の構造および $ a $ と $ v $ の運動方程式のおかげで、垂直方程式の右辺が恒等的に消えることにより、整合性が確認される。
• ケルビン-ノエターの定理は、対称性と変分的構造のおかげで導出され、循環を運動量マップとリー代数作用に関連付ける。
• この枠組みは、重力付きトップ、圧縮性流体、MHDといった系の力学を、一つの幾何学的・変分的還元スキームで統一的に扱える。