[論文レビュー] Lagrangian representation for fermionic linear optics

Sergey Bravyi|ArXiv.org|Apr 30, 2004

Quantum Information and Cryptography被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、フェルミオン系におけるグラスマン変数を用いて、ガウス状態と写像を一般化し、フェルミオン線形光学（FLO）のラグランジュ表現を確立する。ユニタリ変換と単一モード射影子の下での相関行列の進化に関する明示的な公式を提供し、ガウス的グラスマン積分を用いた古典的シミュレーションを可能にする。

ABSTRACT

Notions of a Gaussian state and a Gaussian linear map are generalized to the case of anticommuting (Grassmann) variables. Conditions under which a Gaussian map is trace preserving and (or) completely positive are formulated. For any Gaussian map an explicit formula relating correlation matrices of input and output states is presented. This formalism allows to develop the Lagrangian representation for fermionic linear optics (FLO). It covers both unitary operations and the single-mode projectors associated with FLO measurements. Using the Lagrangian representation we reduce a classical simulation of FLO to a computation of Gaussian integrals over Grassmann variables. Explicit formulas describing evolution of a quantum state under FLO operations are put forward.

研究の動機と目的

• フェルミオン系における反交換（グラスマン）変数へのガウス状態と写像の形式的枠組みの拡張。
• フェルミオン線形光学（FLO）の文脈において、トレース保存および完全正値ガウス写像を特徴づけること。
• FLOにおけるユニタリ操作と射影測定を統一的に記述するラグランジュ表現の構築。
• フェルミオン系におけるガウス的グラスマン積分への還元によって、FLOの効率的古典的シミュレーションを可能にすること。

提案手法

• 生成・消滅演算子のクリフォード代数構造を用いて、フェルミオン演算子と状態のグラスマン変数パrametrizationを導入する。
• 相関行列を用いてフェルミオンガウス状態を定義し、それがグラスマン変数上のガウス積分と等価であることを確立する。
• 演算子に作用する線形写像（ガウス写像）のラグランジュ表現を構築し、グラスマン指数を含む積分核を導入する。
• ガウス写像が相関行列に及ぼす作用の明示的公式を導出し、ユニタリ変換と測定誘発写像を含む。
• 双対状態形式を用いて、FLO射影子（例：単一モードの占有数測定）をガウス写像として表現する。
• ガウス積分技法を適用し、入力の相関行列から測定後の状態および測定結果の確率を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェルミオン系における反交換（グラスマン）変数へのガウス状態と写像の一般化はどのように可能か？
• RQ2 フェルミオン的文脈において、ガウス写像がトレース保存または完全正値であるための条件は何か？
• RQ3 FLO操作（ユニタリ的および射影的）の作用を、一様にラグランジュ形式主義で記述する方法は何か？
• RQ4 FLOの古典的シミュレーションは、ガウス的グラスマン積分への還元によって可能か？
• RQ5 単一モード測定を含むFLO操作の下での相関行列の明示的変換則は何か？

主な発見

• ガウス写像がトレース保存であるための必要十分条件は、その関連する積分核がグラスマン積分から導かれる特定の正規化条件を満たすことである。
• 完全正値ガウス写像は、写像の核の行列構造に関する条件によって特徴づけられ、出力状態の物理的妥当性を保証する。
• ユニタリFLO操作の下でのフェルミオンガウス状態の進化は、シンプレクティックに似た変換による相関行列の線形変換で記述される。
• 単一モード射影子（例：モードの占有または非占有を測定）に対して、測定後の相関行列は入力行列の有理関数として与えられ、具体的には $ L = (I - MK)^{-1}M $ である。ここで $ K $ はランク2の反対称行列である。
• 測定結果の確率は $ p_0 = \frac{1}{2} \mathrm{Pf}(M) \mathrm{Pf}(K - M^{-1}) $ で与えられ、既知の結果と一致し、本研究ではグラスマン積分形式主義から導出される。
• FLOの全動的挙動、すなわち状態の進化および測定統計は、ガウス的グラスマン積分を用いて計算可能であり、効率的な古典的シミュレーションを可能にする。