[論文レビュー] Lagrangian solutions to the 2D euler system with L^1 vorticity and infinite energy

Anna Bohun, François Bouchut+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2015

Navier-Stokes equation solutions被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、初期渇度が $L^1(\mathbb{R}^2)$ に属する2次元非圧縮性Euler方程式に対するラグランジュ的解の存在および強い安定性を確立する。この設定では運動エネルギーが無限大である可能性がある。近年の特異積分を伴うベクトル場に対する正則ラグランジュ的流れの理論を活用して、初期渇度の $L^1$ における弱収束が、関連する流れと解の強い収束をもたらすことを証明し、無限エネルギー領域へのwell-posednessの拡張を達成する。

ABSTRACT

We consider solutions to the two-dimensional incompressible Euler system with only integrable vorticity, thus with possibly locally infinite energy. With such regularity, we use the recently developed theory of Lagrangian flows associated to vector fields with gradient given by a singular integral in order to define Lagrangian solutions, for which the vorticity is transported by the flow. We prove strong stability of these solutions via strong convergence of the flow, under only the assumption of L^1 weak convergence of the initial vorticity. The existence of Lagrangian solutions to the Euler system follows for arbitrary L^1 vorticity. Relations with previously known notions of solutions are established.

研究の動機と目的

• 初期渇度が $L^1(\mathbb{R}^2)$ に属する2次元Euler方程式に対する解の厳密な存在理論を確立すること。これは、局所的または全球的に運動エネルギーが無限大である可能性がある設定である。
• 渇度が速度場に伴う流れによって輸送されるという性質を有する、この低正則性設定におけるラグランジュ的解の定義と研究を行うこと。
• 初期渇度の $L^1$ における弱収束に対するこれらの解の強い安定性を証明し、流れと解の収束を保証すること。
• ラグランジュ的解と、すでに知られている解の概念（例：正規化解や対称化解）との関係を明確にすること。
• 従来の $L^\infty$ や $L^p$ における渇度の仮定に依存する古典的well-posedness枠組みを、$L^1$ 全体のクラス、非コンパクトかつ無限エネルギー初期データを含む場合にも拡張すること。

提案手法

• Biot-Savart法則により $L^1$ 渇度から生成される速度場に関連する正則ラグランジュ的流れの理論を用いて、ラグランジュ的解を定義すること。
• 文献[8]で開発された、勾配が特異積分を伴う正則ラグランジュ的流れの事前推定を用いて、流れと速度の挙動を制御すること。
• 初期データを $L^1$ で滑らか化することで近似解を構成し、滑らか化された渇度が $L^1$ に留まり、Biot-Savartカーネルとの畳み込みによって速度場が適切に定義されることを保証すること。
• 初期渇度が $L^1$ で弱収束する条件下で、滑らか化された流れと速度が $C([0,T];L^1_{\rm{loc}}(\mathbb{R}^2))$ 内で強い収束を示すことを証明すること。
• 極限に至るための主要な道具として、対称化渇度形式を確立し、極限解が対称化された弱形式を満たすことを検証すること。
• ラグランジュ的対称化解（ラグランジュ的輸送と対称化渇度形式の両方を満たす解）の概念を導入することで、複数の解の概念を統合すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期渇度が $L^1(\mathbb{R}^2)$ に属するが、有限の運動エネルギーを仮定しない2次元Euler方程式に対して、ラグランジュ的解を厳密に定義・構成することは可能か？
• RQ2 初期渇度の $L^1$ における弱収束が、関連するラグランジュ的流れと解の強い収束をもたらすか？
• RQ3 この低正則性設定において、ラグランジュ的解は、従来の解の概念（例：正規化解や対称化解）と同等か、それらよりも強い概念か？
• RQ4 $L^2$ や $L^p$ における速度または渇度のバインディングに依存せずに、$L^1$ 渇度の設定における解の存在を確立することは可能か？
• RQ5 $L^1$ 設定において、解列のコンパクト性と安定性を保証する上で、対称化渇度形式の役割は何か？

主な発見

• 初期渇度が $L^1(\mathbb{R}^2)$ に属する限り、運動エネルギーが無限大であってもラグランジュ的解が存在する。
• これらの解の強い安定性が証明された：初期渇度が $L^1$ で弱収束するならば、関連する流れと解は $C([0,T];L^1_{\rm{loc}}(\mathbb{R}^2))$ 内で強い収束を示す。
• 滑らか化された解の極限はラグランジュ的対称化解であり、ラグランジュ的輸送と対称化渇度形式の両方を満たす。
• $v^0 \in L^2_{\rm{loc}}(\mathbb{R}^2)$ の追加仮定の下で、極限速度場は $L^\infty((0,T);L^2_{\rm{loc}}(\mathbb{R}^2))$ に属し、弱速度形式を満たす。
• 対称化渇度形式は極限でも保存され、$\omega_n(t,x)\omega_n(t,y)$ の $L^1(\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2)$ における弱収束により、非線形項の収束が保証される。
• 本理論により、ラグランジュ的解、正規化解、対称化解の概念が統合される：すべてのラグランジュ的解は自動的に正規化解であり、等積分性の下では対称化解でもある。