[論文レビュー] Lagrangian Structure Functions in Turbulence: Scaling Exponents and Universality

Victor Yakhot|ArXiv.org|Oct 16, 2008

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、時間依存の散逸時間に基づく新しいブリッジング関係を提案し、乱流におけるラグランジュ的構造関数のスケーリング指数を解析的に予測する。正確な散逸範囲の関係を慣性範囲へ外挿することで、実験的・数値的データと優れた一致を達成し、従来の手法に見られた不一致を解消するとともに、ラグランジュ的不規則性の非ユニバーサルな振るまいを説明する。

ABSTRACT

In this paper, the approach for investigation of asymptotic ($Re o \infty$) scaling exponents of Eulerian structure functions (J. Schumacher et al, New. J. of Physics {\bf 9}, 89 (2007)) is generalized to studies of Lagrangian structure functions in turbulence. The novel "bridging relation" based on the derived expression for the fluctuating, moment-order - dependent dissipation time $τ_{η,n}$ enabled us to calculate scaling exponents ($κ_{n}$) of the moments of Lagrangian velocity differences $S_{n,L}(τ)=\bar{(u(t+τ)-u(t))^{n}}\propto τ^{κ_{n}}$ in a good agreement with experimental and numerical data.

研究の動機と目的

• ラグランジュ的構造関数に対して正確な動的関係が存在しないという問題に対処すること。これは、エーランジュ的構造関数理論に比べて顕著である。
• 従来のブリッジング関係に起因する、ラグランジュ的スケーリング指数の予測に一貫性のない問題を解消すること。
• 2次元のエーランジュ的乱流は不規則性がなく、一方でラグランジュ的乱流は不規則性を示すという「2次元パラドックス」を、レイノルズ数に依存する散逸時間の導入によって解明すること。
• 時間依存の散逸時間に基づく理論的・解析的表現を用いて、ラグランジュ的構造関数 $ S_{n,L}(\tau) \propto \tau^{\kappa_n} $ のスケーリング指数 $\kappa_n$ を導出すること。
• エーランジュ的およびラグランジュ的構造関数の記述を統一するために、物理的に妥当な改良型ブリッジング関係を介して両者を結びつけること。

提案手法

• 正確な解析範囲の関係 $ r \approx \tau \delta_\tau u / 2 $ を外挿し、散逸カット $\tau_{\eta,n}$ に到達した場合の新しいブリッジング関係 $\eta \approx \tau_{\eta,n} \delta_{\tau_{\eta,n}} u $ を導出する。
• レイノルズ数のスケーリングを速度勾配モーメントに反映する、モーメント番号に依存する散逸時間 $\tau_{\eta,n}$ を導入し、導出の主要パラメータとする。
• $ Re \to \infty $ の極限における次元解析と漸近的マッチングを用い、ラグランジュ的構造関数のスケーリング指数 $\kappa_n$ を、エーランジュ的構造関数の異常スケーリング指数 $\xi_n$ と関連付ける。
• 解析範囲と慣性範囲の整合性条件を用いて $\kappa_n$ を導出し、方程式 $\frac{n}{\xi_n - \xi_{n+1} - 1} = \frac{\alpha_n (\kappa_n + n)}{\kappa_n - n}$ を得る。ここで $\alpha_n$ は速度勾配モーメントのレイノルズ数スケーリング指数である。
• 理論的枠組みを実験的・数値的データと比較することで妥当性を検証し、$ n = 2 $ から $ 10 $ の各モーメントで、予測された $\kappa_n^{\text{th}}$ が強い一致を示すことを確認した。
• $\alpha_n$ のパラメータ化を通じて不規則性補正を組み込み、$\tau_{2n}$ のリラクゼーション時間の非ユニバーサルなレイノルズ数依存性を捉える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正確な動的関係が存在しない状況において、ラグランジュ的構造関数のスケーリング指数をどのように解析的に予測できるか？（エーランジュ的乱流におけるように）
• RQ2 慣性範囲の時間刻みに基づく従来のブリッジング関係が、なぜラグランジュ的構造関数の実験的データを再現できないのか？
• RQ3 モーメント依存の散逸時間 $\tau_{\eta,n}$ は、エーランジュ的およびラグランジュ的構造関数のスケーリングをどのように統合するか？
• RQ4 レイノルズ数に依存する $\tau_{\eta,n}$ の非ユニバーサルな依存性は、なぜコルモゴロフの散逸時間 $\tau_K \approx T / \sqrt{Re}$ が異なるレイノルズ数での実験データを統合できないのかを説明するか？
• RQ5 2次元流れではエーランジュ的乱流は不規則性がなく、一方でラグランジュ的乱流は不規則性を示すという「2次元パラドックス」は、なぜ生じるのか？ そして、このパラドックスはどのように解消できるか？

主な発見

• 正確な解析範囲の関係から導出された新しいブリッジング関係 $\eta \approx \tau_{\eta,n} \delta_{\tau_{\eta,n}} u $ は、$ n = 2 $ から $ 10 $ の範囲で、実験的・数値的データと非常に良好に一致するスケーリング指数 $\kappa_n^{\text{th}}$ を得る。$\kappa_2^{\text{th}} = 0.95$ および $\kappa_{10}^{\text{th}} = 2.05$ である。
• 理論は「2次元パラドックス」を解消する。それは、ラグランジュ的不規則性が、ユニバーサルではなくレイノルズ数 $ Re $ に依存する $\alpha_n$ を通じて $\tau_{\eta,n}$ に依存するモーメント番号依存の散逸時間に起因することを示している。
• リラクゼーション時間 $\tau_{2n}$ は $\tau_{2n}/T \approx Re^{-\gamma_{2n}}$ とスケーリングし、$\gamma_2 \approx 0.545$、$\gamma_4 \approx 0.566$、$\gamma_{10} \approx 0.76$ である。これは強いレイノルズ数依存性を示している。
• 導出された方程式 $\frac{n}{\xi_n - \xi_{n+1} - 1} = \frac{\alpha_n (\kappa_n + n)}{\kappa_n - n}$ は、エーランジュ的およびラグランジュ的スケーリング指数の間の一貫性ある関係を提供し、既知の $\xi_n$ と $\alpha_n$ から $\kappa_n$ を予測可能にする。
• 理論は、コルモゴロフの散逸時間 $\tau_K \approx T / \sqrt{Re}$ が $ S_{n,L}(\tau, Re) $ の実験的データを異なるレイノルズ数で統合できない理由を説明する。これは、$\tau_{\eta,n}$ のモーメント番号依存性を無視しているためである。
• モデルは、ラグランジュ的指数 $\kappa_n$ が、そのエーランジュ的対応物 $\xi_n$ よりも「より不規則性が強い」ことを予測している。図2に示すように、すべての $ n $ に対して $\kappa_n > \xi_n$ である。