[論文レビュー] Lagrangian subbundles of orthogonal bundles of odd rank over an algebraic curve

Insong Choe, George H. Hitching|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、 genus $ g \geq 2 $ の滑らかな代数的曲線上の奇数階 $ 2n+1 $ の直交ベクトル束に対して、等方的セグレ不変量 $ t(V) $ の鋭い上界を確立し、$ MO_X(2n+1)^\pm $ で定義される各層の分岐集合の既約性を証明し、次元を計算し、コhomological 技法と直交グラスマン多様体の幾何学を用いて、各分岐集合内の一般束に対して最大のラグランジュ部分束の数と次元を特定する。

ABSTRACT

An orthogonal bundle over a curve has an isotropic Segre invariant determined by the maximal degree of a Lagrangian subbundle. This invariant, and the induced stratifications on moduli spaces of orthogonal bundles, were studied for bundles of even rank in [4]. In this paper, we obtain analogous results for bundles of odd rank. We obtain a sharp upper bound on the isotropic Segre invariant. We show the irreducibility of the induced strata on the moduli spaces of orthogonal bundles of odd rank, and compute their dimensions. As a key ingredient of the proofs, we study the correspondence between Lagrangian subbundles of orthogonal bundles of even and odd rank.

研究の動機と目的

• 直交束のセグレ型分岐理論を偶数階から奇数階へ拡張し、代数的曲線上の直交束におけるラグランジュ部分束の分類を完成させること。
• 奇数階 $ 2n+1 $ の直交束に対して、等方的セグレ不変量 $ t(V) $ の最大可能な値を特定し、それが鋭い上界であることを証明すること。
• 半安定直交束のモジュライ空間内の分岐集合 $ MO_X(2n+1;t) $ の既約性を確立し、次元を計算すること。
• 各分岐集合内の一般直交束について、最大のラグランジュ部分束の数と次元が、$ (n+1)(g-1) \mod 4 $ の合同類に応じてどのように変化するかを分析すること。

提案手法

• 直交グラスマン多様体 $ \mathrm{OG}(n,2n) $ を用いて、モジュライ空間 $ MO_X(2n+1)^\pm $ の二つの成分を関連付け、ラグランジュ部分束の次数にかかる偶奇制約を証明する。
• ヒルシュホイツ型補題とセール双対性を応用し、一般の階数 $ n+1 $、次数 $ -e $ の束 $ F $ に対して $ h^0(X, \wedge^2 F^*) $ を計算する。これはファイバー次元の計算に不可欠である。
• ラグランジュ部分束から生じる直交束をパラメトライズする準同型写像 $ \alpha_e: \mathrm{Grass}(n, V) \to MO_X(2n+1) $ を構成し、そのファイバーが $ \mathrm{Grass}(n, F^*) $ に同型であることを示す。
• コhomological 停止性から導かれる式 $ \dim M(V) = \frac{n}{2}(t(V) - (n+1)(g-1)) $ を用いて、最大ラグランジュ部分束の空間 $ M(V) $ の次元を計算する。
• パラボリック束の不変量 $ s(V;P) = \frac{1}{2}(n-1)t(V) $ を用いて、$ t(V) $ の上界がホラ–ナラシマンの既知の結果に基づいて解釈されることを示す。
• ラグランジュ部分束の次数の偶奇性を用いて、$ t(V) \mod 4 $ に基づき、分岐集合 $ MO_X(2n+1;t) $ を成分 $ \pm $ に分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲線の genus $ g \geq 2 $ における奇数階 $ 2n+1 $ の直交束に対して、等方的セグレ不変量 $ t(V) $ の鋭い上界は何か？
• RQ2 不変量 $ t(V) $ で定義される分岐集合 $ MO_X(2n+1;t) $ は位相的にどのように振る舞うか—具体的には、既約でかつ次元は何か？
• RQ3 一般の直交束 $ V \in MO_X(2n+1)^\pm $ に対して、最大のラグランジュ部分束の数と次元はどのように変化するか？
• RQ4 一般の直交束がモジュライ空間の $ + $ または $ - $ 成分にあるのはどのような条件によるのか？ これはラグランジュ部分束の次数とどのように関係するか？
• RQ5 直交グラスマン多様体 $ \mathrm{OG}(n,2n) $ の幾何学は、モジュライ空間の二つの成分をどのように関連づけ、ラグランジュ部分束の次数にかかる偶奇制約を証明するのを助けるか？

主な発見

• 奇数階 $ 2n+1 $ の直交束 $ V $ に対して、等方的セグレ不変量 $ t(V) $ は鋭い上界 $ t(V) \leq (n+1)(g-1) + 3 $ を満たし、この上界は各成分 $ MO_X(2n+1)^\pm $ の一般束によって達成される。
• すべての偶数 $ t $ に対して $ 0 < t \leq (n+1)(g-1) + 3 $ について、分岐集合 $ MO_X(2n+1;t) $ は空でなく、既約であり、次元は $ \dim MO_X(2n+1;t) = n(2n+1)(g-1) - \frac{n}{2}(t - (n+1)(g-1)) $ で与えられる。
• 一般の $ V \in MO_X(2n+1;t) $ に対して、最大ラグランジュ部分束の空間 $ M(V) $ の次元は $ \frac{n}{2}(t - (n+1)(g-1)) $ であり、$ t = (n+1)(g-1) $ のとき 0 になり、$ t $ と共に線形に増加する。
• $ t < (n+1)(g-1) $ のとき、一般の $ V $ は一意な最大ラグランジュ部分束を持つ。$ t = (n+1)(g-1) $ のとき、有限個の最大ラグランジュ部分束を持つ。$ t > (n+1)(g-1) $ のとき、無限個の最大ラグランジュ部分束を持つ。
• $ V $ を含む成分 $ MO_X(2n+1)^\pm $ は $ t(V) \mod 4 $ の合同類によって決まり、$ t(V) \equiv 0 \text{ または } 3 \mod 4 $ ならば $ V \in MO_X(2n+1)^+ $、$ t(V) \equiv 1 \text{ または } 2 \mod 4 $ ならば $ V \in MO_X(2n+1)^- $ である。$ t(V) \geq (n+1)(g-1) $ のとき成り立つ。
• 一般の $ V $ に対する最大ラグランジュ部分束の数は、$ t(V) $ と $ N = (n+1)(g-1) \mod 4 $ に依存し、$ \dim M(V) = \frac{n}{2}(t - N) $ で与えられる。$ n/2 $、$ n $、$ 3n/2 $ の値は、それぞれの状況に応じて現れる。