[論文レビュー] Lagrangian submanifolds in strictly nearly Kähler 6-manifolds

Hông Vân Lê, Lorenz Schwachhöfer|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、厳密な近似ケーラー6次元多様体におけるラグランジュ部分多様体の平均曲率とマスロフ1形式の間にシンプレクティック双対性を確立し、相対的ケーラレーションを用いて体積の第二変分公式を導出し、実解析的構造のもとで無限小ラグランジュ変形が滑らかに妨げられるための必要十分条件が形式的妨げと一致することを証明する。さらに、モジュライ空間の有限次元局所モデルを構成し、その結果をS⁶における標準的近似ケーラー構造を備えたラグランジュ部分多様体に応用する。

ABSTRACT

Lagrangian submanifolds in strict nearly K\ahler 6-manifolds are related to special Lagrangian submanifolds in Calabi-Yau 6-manifolds and coassociative cones in $G_2$-manifolds. We prove that the mean curvature of a Lagrangian submanifold $L$ in a nearly K\ahler manifold $(M^{2n}, J, g)$ is symplectically dual to the Maslov 1-form on $L$. Using relative calibrations, we derive a formula for the second variation of the volume of a Lagrangian submanifold $L^3$ in a strict nearly K\ahler manifold $(M^6, J, g)$. This formula implies, in particular, that any formal infinitesimal Lagrangian deformation of $L^3$ is a Jacobi field on $L^3$. We describe a finite dimensional local model of the moduli space of compact Lagrangian submanifolds in a strict nearly K\ahler 6-manifold. We show that there is a real analytic atlas on $(M^6, J, g)$ in which the strict nearly K\ahler structure $(J, g)$ is real analytic. Furthermore, w.r.t. an analytic strict nearly K\ahler structure the moduli space of Lagrangian submanifolds of $M^6$ is a real analytic variety, whence infinitesimal Lagrangian deformations are smoothly obstructed if and only if they are formally obstructed. As an application, we relate our results to the description of Lagrangian submanifolds in the sphere $S^6$ with the standard nearly K\ahler structure described in \cite{Lotay2012}.

研究の動機と目的

• 厳密な近似ケーラー6次元多様体におけるラグランジュ部分多様体の幾何学的・解析的性質、特に変形理論を理解すること。
• このような部分多様体の平均曲率1形式とラグランジュ多様体上でのマスロフ1形式との間のシンプレクティック双対性を確立すること。
• 近似ケーラー幾何の文脈において、相対的ケーラレーションを用いて体積の第二変分公式を導出すること。
• 厳密な近似ケーラー6次元多様体におけるコンパクトラグランジュ部分多様体のモジュライ空間の有限次元局所モデルを構成すること。
• 実解析的近似ケーラー構造のもとで、ラグランジュ変形の滑らかな妨げと形式的妨げが一致することを示すこと。

提案手法

• 厳密な近似ケーラー6次元多様体における3次元ラグランジュ部分多様体の体積の第二変分公式を、相対的ケーラレーションを用いて導出する。
• 近似ケーラー構造を介して、ラグランジュ多様体の平均曲率1形式とそのマスロフ1形式との間のシンプレクティック双対性を確立する。
• 近似ケーラー6次元多様体に実解析的アトラスを構成し、近似ケーラー構造が実解析的であることを保証する。
• 実解析的多様体の理論を適用して、解析的構造のもとでラグランジュ部分多様体のモジュライ空間が実解析的多様体であることを示す。
• 実解析的枠組みを用いて、ラグランジュ変形の滑らかな妨げと形式的妨げが一致することを証明する。
• Lotay (2012) で研究された6次元球面S⁶における標準的近似ケーラー構造にその結果を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 厳密な近似ケーラー6次元多様体におけるラグランジュ部分多様体の平均曲率は、そのマスロフ1形式とどのように関係するか？
• RQ2 厳密な近似ケーラー6次元多様体におけるラグランジュ3次元多様体の体積の第二変分公式は何か？
• RQ3 厳密な近似ケーラー6次元多様体におけるコンパクトラグランジュ部分多様体のモジュライ空間は、局所的に有限次元実解析的多様体としてモデル化可能か？
• RQ4 ラグランジュ変形の滑らかな妨げと形式的妨げが一致する条件は何か？
• RQ5 結果は、標準的近似ケーラー構造を備えた6次元球面S⁶におけるラグランジュ部分多様体にどのように応用できるか？

主な発見

• 厳密な近似ケーラー多様体におけるラグランジュ部分多様体の平均曲率1形式は、その部分多様体上のマスロフ1形式とシンプレクティック双対である。
• 厳密な近似ケーラー6次元多様体におけるラグランジュ3次元多様体の体積の第二変分は、相対的ケーラレーションを用いて導出された公式によって支配され、すべての形式的無限小ラグランジュ変形がジャコビ場であることを示唆する。
• 厳密な近似ケーラー6次元多様体におけるコンパクトラグランジュ部分多様体のモジュライ空間の有限次元局所モデルが存在する。
• 近似ケーラー6次元多様体に、近似ケーラー構造が実解析的であるような実解析的アトラスが存在する。
• そのような解析的構造に関して、ラグランジュ部分多様体のモジュライ空間は実解析的多様体であるため、変形の滑らかな妨げと形式的妨げが完全に一致する。
• 結果は、標準的近似ケーラー構造を備えたS⁶におけるラグランジュ部分多様体に適用され、それらの研究の幾何的枠組みを提供する。