[論文レビュー] Lagrangian submanifolds in the nearly kaehler $s^3 imes s^3$

Bart Dioos, Luc Vrancken+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ほぼケーラー多様体 $\mathbb{S}^3 \times \u005c mathbb{S}^3$ 内の定曲率をもつラグランジュ部分多様体を分類し、それらが全測地的であるか、または5つの明示的な例のうちの1つと局所的に合同であることを証明している。その例には、新規の平坦ラグランジュトーラスと、半径 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ および $\frac{4}{\sqrt{3}}$ の非全測地的ラグランジュ球面が含まれる。分類は、ダーボウの定理が成立しないほぼケーラー的設定における角度関数と曲率解析に依存している。

ABSTRACT

In this paper, we investigate Lagrangian submanifolds in the nearly Kaehler $S^3 imes S^3$. We construct a new example which is a at Lagrangian torus. We give a complete classification of all the Lagrangian immersions of spaces of constant sectional curvature in the nearly Kaehler $S^3 imes S^3$.

研究の動機と目的

• 空間形式（定曲率）のラグランジュ埋め込みをほぼケーラー多様体 $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3$ に分類すること。
• 特に平坦ラグランジュトーラスを含む、ラグランジュ部分多様体の新しい例を構成すること。
• $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3$ に埋め込まれた円形ラグランジュ球面の可能な半径を特定すること。
• 特にダーボウの定理が成立しない状況において、ほぼケーラー構造がラグランジュ部分多様体に課す幾何的制約を理解すること。

提案手法

• 著者らは、ほぼケーラー的構造におけるラグランジュ部分多様体の幾何をほぼ積構造 $P$ を通じて記述する3つの角度関数を含む局所フレームを導入する。
• ガウスの法則を用いて、角度関数で表される法曲率を導出し、$i \neq j$ のとき $K = \frac{5}{12} + \frac{1}{3}\cos(2(\theta_i - \theta_j))$ を得る。
• 角度差に関する三角関数の恒等式（例：$\sin(2\theta_i - \theta_j - \theta_k) = 0$ や $\cos(\theta_i - \theta_j) = 0$）の消滅を仮定した場合の分類を、ケース解析によって行う。
• 定曲率が角度関数に与える影響を分析し、非定数角度関数が存在すると、部分多様体が全測地的である場合を除き矛盾が生じることを示す。
• 特に $E_i(\theta_j + \theta_k) = 0$ および $E_i(\theta_j - \theta_k) = 0$ といった構造方程式から導かれる微分方程式を用いて、角度関数の振る舞いを制約する。
• 非全測地的ケースの結果と、張・胡・ディオス・フラーンケン・ワンが得た全測地的ラグランジュ部分多様体に関する既知の結果を組み合わせることで、分類を完了する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほぼケーラー多様体 $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3$ 内で定曲率をもつラグランジュ部分多様体として可能なものは何か？
• RQ2 平坦ラグランジュトーラスは $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3$ に存在しうるか？ その場合、どのように構成されるか？
• RQ3 $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3$ に埋め込まれた円形ラグランジュ球面の可能な半径は何か？
• RQ4 角度関数と曲率関係は、この設定における非全測地的ラグランジュ部分多様体の幾何にどのように制約を課すか？
• RQ5 ほぼケーラー幾何においてダーボウの定理が成立しないことから、なぜラグランジュ部分多様体のリーマン分類が必要となるのか？

主な発見

• 定曲率をもつラグランジュトーラスの新規な例が、$\mathbb{S}^3$ 内の平均曲率定数のトーラスから得られる形で $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3$ 内に構成された。
• $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3$ 内に埋め込まれる円形ラグランジュ球面の可能な半径は、$\frac{2}{\sqrt{3}}$ および $\frac{4}{\sqrt{3}}$ のみである。
• $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3$ 内の定曲率ラグランジュ部分多様体は、すべて5つの明示的な例のうちの1つと局所的に合同である：3つの全測地的埋め込みと2つの非全測地的埋め込み。
• 非全測地的ラグランジュ部分多様体が定曲率をもつためには、角度関数が定数でなければならないが、その場合、特定の方向において第二基本形式が消える以外に矛盾が生じる。
• $\sin(2\theta_i - \theta_j - \theta_k) = 0$ または $\cos(\theta_i - \theta_j) = 0$ となる場合、部分多様体は全測地的でなければならないことが示され、非全測地的例ではこのような構成は排除される。
• 分類は完全である：$\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3$ 内の任意の定曲率ラグランジュ部分多様体は、5つのリストアップされた埋め込みのうちの1つと局所的に合同である。