[論文レビュー] Lagrangian submanifolds with prescribed second fundamental form

Bang‐Yen Chen, Joeri Van der Veken+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素空間形式（ℂⁿ、ℂPⁿ(4)、ℂHⁿ(−4)）におけるラグランジュ部分多様体を、第二基本形式が実数パラメータ d に依存する特定のテンソリアル構造を持つものとして分類する。ワーペッド積構造を用い、曲率関数 λ, μ, θ に対する常微分方程式系を解くことで、最小特徴的Legendre部分多様体を用いた明示的埋め込みを構成し、特に d = 1/(2+m) または d = 1/(n−1) の場合に δ-曲率不等式における等号が達成されるケースを特定する。

ABSTRACT

We classify Lagrangian submanifolds of complex space forms, whose second fundamental form can be written in a certain way, depending on a real parameter. For some special values of this parameter, the resulting submanifolds are ideal in the sense that they realize equality in an inequality for a Chen's delta-curvature.

研究の動機と目的

• 実数定数 d によってパrameter化された特定のテンソリアル構造を満たす第二基本形式を持つラグランジュ部分多様体を、複素空間形式において分類すること。
• このような部分多様体がδ-曲率不等式において等号を達成する条件を特定し、理想部分多様体を実現すること。
• 常微分方程式系の解を用いて、ℂⁿ、ℂPⁿ(4)、ℂHⁿ(−4) におけるこれらの部分多様体の明示的局所埋め込みを構成すること。
• 部分多様体の幾何的構造を特定し、e₁ が区間 I に接する、e₂,…,eₙ が N に接する、内在的ワーペッド積 I ×_f N であることを示すこと。
• 特に d = 1/(n+1) や d = 1/(n−1) などの特別な d 値が、δ(n−1)-理想または δ(2,n−2)-理想部分多様体を実現する役割を明らかにすること。

提案手法

• 第二基本形式 h が λ, d, J を含む特定の形を取り、h(e₁,e₁) = λJe₁ および off-diagonal 項が dλJeᵢ を含むような局所正規直交フレーム {e₁,…,eₙ} の存在を仮定する。
• e₁ の積分曲線に沿って関数 λ(t), μ(t), θ(t) に対する常微分方程式系を導出する。曲率に応じて λ′ = ((1−2d)/d)λμ、μ′ = ±(1 + μ² + d(1−d)λ²) などの形をとる。
• 埋め込みの水平上昇を、環境空間に応じて球面 S²ⁿ⁺¹(1) または双曲空間 H²ⁿ⁺¹₁(−1) にとり、全埋め込みを φ（最小特徴的Legendre埋め込み）とODEの解を用いて表現する。
• ワーペッド積構造 I ×_f N を適用し、t でパラメータ付けられた区間 I と、最小ラグランジュ埋め込み φ を持つ (n−1) 次元多様体 N を用いる。
• ODE系を解き、埋め込み式における位相およびスケーリングを制御する係数関数 μ(t), θ(t), λ(t) を決定する。
• 双曲空間の場合、1 − μ² − d²λ² の符号に応じて、水平上昇の異なるパラメータ化が生じるため、場合分けを行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パrameter d がどの値をとるとき、所定の第二基本形式を持つラグランジュ部分多様体が δ-理想となるか？
• RQ2 このような第二基本形式を持つラグランジュ部分多様体をどのように明示的に構成できるか？
• RQ3 これらの部分多様体の内在的幾何的構造は何か？ワーペッド積および最小特徴的Legendre部分多様体とどのように関係するか？
• RQ4 λ(t), μ(t), θ(t) のODEが、埋め込みの局所的および大域的幾何にどのように寄与するか？
• RQ5 d の特別な値（例：d = 1/(n+1), d = 1/(n−1)）が、曲率不等式における既知の理想部分多様体クラスに対応する仕組みは何か？

主な発見

• 部分多様体は、e₁ が区間 I に接し、e₂,…,eₙ が N に接する、内在的ワーペッド積 I ×_f N である。ワーピング関数 f はODE系の解によって決定される。
• d = 1/(2+m) で m ≥ 2 かつ n−1 が m で割り切れる場合、部分多様体は δ(m,…,m)-理想（k 回の m の繰り返し、km = n−1）であり、対応するδ-曲率不等式における等号を達成する。
• d = 1/(n−1) で n ≥ 5 の場合、追加の直交性条件のもとで、部分多様体は δ(2,n−2)-理想となり、その不等式における等号を実現する。
• ℂⁿ における埋め込みは、L(t,u₂,…,uₙ) = (e^{idθ}ϕ / √(1+μ²+d²λ²), e^{i(1−d)θ}(idλ−μ)/√(1+μ²+d²λ²)) で与えられ、ϕ は S²ⁿ⁻¹(1) への最小特徴的Legendre埋め込みである。
• ℂPⁿ(4) においては、同じODE系と ϕ が S²ⁿ⁻¹(1) に最小であることを除き、同様に水平上昇が表現される。等長変換を除いて同一である。
• ℂHⁿ(−4) では、1−μ²−d²λ² の符号に応じて3つの場合に分かれ、√(1−μ²−d²λ²) または √(μ²+d²λ²−1) を含む異なるパラメータ化が生じる。ϕ はそれぞれ H²ⁿ⁻¹₁(−1) または S²ⁿ⁻¹(1) に最小である。